Considere os subconjuntos de
a seguir. Verifique se são subespaços. Em caso afirmativo, exiba geradores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um certo conjunto
é um subespaço de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. O conjunto
é definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz as três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se
não está vazio, ou seja, se ele contém o vetor zero. O vetor zero em
é o polinômio
.
Vamos ver se ele pertence a
:
Então,
. Isso mostra que
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios qualquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então, temos que:
Somando os dois polinômios:
Precisamos verificar se
:
Claramente,
a menos que
, o seja, isso não é garantido para todos os polinômios em
.
Passo 4
Como vimos no passo anterior, a soma de dois polinômios em
nem sempre pertence a
. Isso significa que
não é fechado sob adição.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
.