Considere os subconjuntos de P2 a seguir. Verifique se são subespaços. Em caso afirmativo, exiba geradores.
U=a+b x+c x^2 in P2: b=2 c a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um certo conjunto U = a + b x + c x^2 in P2 : b = 2 c cdot a é um subespaço de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. O conjunto é definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz as três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se não está vazio, ou seja, se ele contém o vetor zero. O vetor zero em é o polinômio .
Vamos ver se ele pertence a :
Então, . Isso mostra que não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se p1 + p2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) x + (c1 + c2) x^2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios qualquer em b1 + b2 = 2 c1 a1 + 2 c2 a2 e somarmos, o resultado também deve estar em 2 (c1 + c2) (a1 + a2) = 2 c1 a1 + 2 c1 a2 + 2 c2 a1 + 2 c2 a2 .
Sejam e em . Então, temos que:
Somando os dois polinômios:
Precisamos verificar se :
Claramente, a menos que , o seja, isso não é garantido para todos os polinômios em .

Passo 4

Como vimos no passo anterior, a soma de dois polinômios em nem sempre pertence a . Isso significa que não é fechado sob adição.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de .

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