Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de matrizes 2x2 definidas da seguinte forma:
O conteúdo da matéria envolve álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero para matrizes 2x2 é:
Se colocarmos
e
na matriz dada, temos:
Portanto, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se somarmos duas matrizes desse conjunto, o resultado também deve pertencer ao conjunto.
Seja:
Somando
:
onde
e
. Como
e
são reais, a soma
pertence ao conjunto.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um escalar
, o resultado deve estar no conjunto.
Seja:
Multiplicando por
:
onde
e
. Como
e
são reais,
também pertence ao conjunto.
Passo 5
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que ele é um subespaço vetorial.
Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, identificamos os vetores que geram todas as matrizes do conjunto de forma linearmente independente.
Vamos expressar a matriz genérica como combinação linear de matrizes base:
As matrizes:
são linearmente independentes e geram todo o conjunto.
Resposta
Sim, o conjunto é um subespaço vetorial. Uma base é formada pelas matrizes
e a dimensão desse subespaço é 2.