Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
(cca & a+b a & b): a, b in R

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de matrizes 2x2 definidas da seguinte forma:
(cca & a+b a & b) : a, b in R
O conteúdo da matéria envolve álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero para matrizes 2x2 é:
(cc0 & 0 0 & 0)
Se colocarmos (cc0 & 0+0 0 & 0) = (cc0 & 0 0 & 0) e na matriz dada, temos:
Portanto, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se somarmos duas matrizes desse conjunto, o resultado também deve pertencer ao conjunto.
Seja:
A = (cca1 & a1 + b1 a1 & b1) e B = (cca2 & a2 + b2 a2 & b2)
Somando A + B = (cca1 + a2 & (a1 + b1) + (a2 + b2) a1 + a2 & b1 + b2) = (cca' & a' + b' a' & b') :
onde e . Como e são reais, a soma pertence ao conjunto.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz do conjunto por um escalar A = (cca & a + b a & b) , o resultado deve estar no conjunto.
Seja:
lambda A = (cclambda a & lambda (a + b) lambda a & lambda b) = (cca' & a' + b' a' & b')
Multiplicando por :
onde e . Como e são reais, também pertence ao conjunto.

Passo 5

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que ele é um subespaço vetorial.
Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, identificamos os vetores que geram todas as matrizes do conjunto de forma linearmente independente.
Vamos expressar a matriz genérica como combinação linear de matrizes base:
(cca & a + b a & b) = a (cc1 & 1 1 & 0) + b (cc0 & 1 0 & 1)
As matrizes:
(cc1 & 1 1 & 0) e (cc0 & 1 0 & 1)
são linearmente independentes e geram todo o conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial. Uma base é formada pelas matrizes
(cc1 & 1 1 & 0), (cc0 & 1 0 & 1)
e a dimensão desse subespaço é 2.

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