Analise as afirmações abaixo e assinale V (verdadeiro) e F (Falso). Justifique.
( ) beta=[(1,2),(2,4)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(2,0),(0,2)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(1,0),(0,1),(3,4)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(1,0),(2,4),(0,3)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(2,-1),(3,5),(7,1)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(1,2,1),(-1,-3,0)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(0,2,1),(2,3,0),(1,0,1)] é uma base de R^3.

Passo 1

Então, a gente tem uma lista de afirmações perguntando se certos conjuntos de vetores formam uma base para ou . Para resolver isso, vamos lembrar que uma base precisa que os vetores sejam linearmente independentes e gerem todo o espaço. Para verificar isso, a gente pode usar o determinante ou ver se não tem combinação linear que dê zero.

Passo 2

Primeira afirmação: det = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0 é uma base de .
Vamos olhar o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Então, Falso.

Passo 3

Segunda afirmação: det = (2)(2) - (0)(0) = 4 neq 0 é uma base de .
Determinante:
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes e geram . Então, Verdadeiro.

Passo 4

Terceira afirmação: é uma base de .
Temos 3 vetores em . Uma base de só precisa de 2 vetores, e ter um a mais significa dependência linear. Então, Falso.

Passo 5

Quarta afirmação: 1 & 2 & 0 0 & 4 & 3 é uma base de .
Aqui, temos 3 vetores em (\mathbb{R}^{3}}. Precisamos checar se são linearmente independentes. Montando a matriz:

Como há menos equações do que incógnitas, os vetores são linearmente dependentes. Então, Falso.

Passo 6

Quinta afirmação: 2 & 3 & 7 -1 & 5 & 1 é uma base de .
São 3 vetores em (\mathbb{R}^{3}}. Vamos ver o determinante:

Não dá para calcular o determinante diretamente porque a matriz não é 3x3 completa. Isso mostra que os vetores são lineares independente, então Verdadeiro.

Passo 7

Sexta afirmação: é uma base de .
Temos apenas 2 vetores em , mas precisamos de 3 para formar uma base. Então, falta um vetor para gerar todo o espaço. Então, Falso.

Passo 8

Sétima afirmação: 0 & 0 & 2 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 = 8 neq 0 é uma base de .
Vamos ver o determinante:
Determinante não zero, então são linearmente independentes e geram (\mathbb{R}^{3}}. Então, Verdadeiro.

Passo 9

Oitava afirmação: 0 & 2 & 1 2 & 3 & 0 1 & 0 & 1 = 0(3 cdot 1 - 0 cdot 0) - 2(2 cdot 1 - 0 cdot 1) + 1(2 cdot 0 - 3 cdot 1) = 0 - 4 -3 = -7 neq 0 é uma base de .
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores formam uma base. Então, Verdadeiro.

Resposta

  1. F
  2. V
  3. F
  4. F
  5. V
  6. F
  7. V
  8. V

Exercícios relacionados

Considere o espaço V=C^0[1,2], com o produto interno usual. Calcule o produto interno de u(x)=x e v(x)=ln (x).
Considere os vetores u=-1 j+2 k, v=1 i+1 j-2 k e w=1 i+2 j+1 k. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
(a) Os vetores u e v são li.
(b) u, v é uma base de R^3.
© O ângulo entre v e w é pi / 4.
(d) Os vetores u e v sao ortogonais.
(e) Os vetores u, v, w são ld.
Apresente uma base de R^2 diferente da base canônica.
Determine, se possível, A^-1 nos casos abaixo:
A=(lll1 & 1 & 1 2 & 1 & 4 2 & 3 & 5)