Analise as afirmações abaixo e assinale V (verdadeiro) e F (Falso). Justifique.
( ) é uma base de .
( ) é uma base de .
( ) é uma base de .
( ) é uma base de .
( ) é uma base de .
( ) é uma base de .
( ) é uma base de .
( ) é uma base de .
Passo 1
Então, a gente tem uma lista de afirmações perguntando se certos conjuntos de vetores formam uma base para ou . Para resolver isso, vamos lembrar que uma base precisa que os vetores sejam linearmente independentes e gerem todo o espaço. Para verificar isso, a gente pode usar o determinante ou ver se não tem combinação linear que dê zero.
Passo 2
Primeira afirmação: é uma base de .
Vamos olhar o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Então, Falso.
Passo 3
Segunda afirmação: é uma base de .
Determinante:
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes e geram . Então, Verdadeiro.
Passo 4
Terceira afirmação: é uma base de .
Temos 3 vetores em . Uma base de só precisa de 2 vetores, e ter um a mais significa dependência linear. Então, Falso.
Passo 5
Quarta afirmação: é uma base de .
Aqui, temos 3 vetores em (\mathbb{R}^{3}}. Precisamos checar se são linearmente independentes. Montando a matriz:
Como há menos equações do que incógnitas, os vetores são linearmente dependentes. Então, Falso.
Passo 6
Quinta afirmação: é uma base de .
São 3 vetores em (\mathbb{R}^{3}}. Vamos ver o determinante:
Não dá para calcular o determinante diretamente porque a matriz não é 3x3 completa. Isso mostra que os vetores são lineares independente, então Verdadeiro.
Passo 7
Sexta afirmação: é uma base de .
Temos apenas 2 vetores em , mas precisamos de 3 para formar uma base. Então, falta um vetor para gerar todo o espaço. Então, Falso.
Passo 8
Sétima afirmação: 0 & 0 & 2 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 = 8 neq 0 é uma base de .
Vamos ver o determinante:
Determinante não zero, então são linearmente independentes e geram (\mathbb{R}^{3}}. Então, Verdadeiro.