Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a matriz tem inversa, ou seja, se existe uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. A matéria que envolve isso é Álgebra Linear, especificamente matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de e, se ele for diferente de zero, usar alguns passos para achar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 4 2 & 3 & 5
Vamos aplicar isso na matriz det(A) = 1 times (1 times 5 - 4 times 3) - 1 times (2 times 5 - 4 times 2) + 1 times (2 times 3 - 1 times 2) :
det(A) = 1 times (5 - 12) - 1 times (10 - 8) + 1 times (6 - 2)
Calculando o determinante:
det(A) = 1 times (-7) - 1 times 2 + 1 times 4 = -7 - 2 + 4 = -5
Como o determinante é e diferente de zero, a matriz tem inversa.
Passo 3
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) times adj(A) tem inversa, vamos calcular Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 . Para uma matriz 3x3, a inversa é dada por:
1 & 4 3 & 5
Onde 2 & 4 2 & 5 é a adjunta de 2 & 1 2 & 3, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento de 1 & 1 3 & 5:
1 & 1 2 & 5
Calculando cada cofator:
1 & 1 2 & 3
1 & 1 1 & 4
1 & 1 2 & 4
1 & 1 2 & 1
Cof(A) = -7 & -2 & 4 -2 & 3 & -1 3 & -2 & -1
adj(A) = -7 & -2 & 3 -2 & 3 & -2 4 & -1 & -1
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, vamos transpor essa matriz para obter a adjunta: