Determine, se possível, A^-1 nos casos abaixo:
A=(lll1 & 1 & 1 2 & 1 & 4 2 & 3 & 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a matriz tem inversa, ou seja, se existe uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. A matéria que envolve isso é Álgebra Linear, especificamente matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de e, se ele for diferente de zero, usar alguns passos para achar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 4 2 & 3 & 5
Vamos aplicar isso na matriz det(A) = 1 times (1 times 5 - 4 times 3) - 1 times (2 times 5 - 4 times 2) + 1 times (2 times 3 - 1 times 2) :
det(A) = 1 times (5 - 12) - 1 times (10 - 8) + 1 times (6 - 2)
Calculando o determinante:
det(A) = 1 times (-7) - 1 times 2 + 1 times 4 = -7 - 2 + 4 = -5
Como o determinante é e diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 3

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) times adj(A) tem inversa, vamos calcular Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 . Para uma matriz 3x3, a inversa é dada por:
1 & 4 3 & 5
Onde 2 & 4 2 & 5 é a adjunta de 2 & 1 2 & 3, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento de 1 & 1 3 & 5:
1 & 1 2 & 5
Calculando cada cofator:
  • 1 & 1 2 & 3
  • 1 & 1 1 & 4
  • 1 & 1 2 & 4
  • 1 & 1 2 & 1
  • Cof(A) = -7 & -2 & 4 -2 & 3 & -1 3 & -2 & -1
  • adj(A) = -7 & -2 & 3 -2 & 3 & -2 4 & -1 & -1
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, vamos transpor essa matriz para obter a adjunta:

Passo 4

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) times adj(A) = 1-5 times -7 & -2 & 3 -2 & 3 & -2 4 & -1 & -1
Multiplicando cada elemento da adjunta por A^-1 = 75 & 25 & -35 25 & -35 & 25 -45 & 15 & 15 :

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 75 & 25 & -35 25 & -35 & 25 -45 & 15 & 15 é:

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( ) beta=[(1,2),(2,4)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(2,0),(0,2)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(1,0),(0,1),(3,4)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(1,0),(2,4),(0,3)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(2,-1),(3,5),(7,1)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(1,2,1),(-1,-3,0)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(0,2,1),(2,3,0),(1,0,1)] é uma base de R^3.
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