Considere o espaço
, com o produto interno usual. Calcule o produto interno de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto interno de duas funções no espaço
usando o produto interno usual. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de espaços vetoriais com produto interno. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral do produto das duas funções no intervalo de 1 a 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno no espaço de funções contínuas
. O produto interno usual é definido por:
No nosso caso,
e
, e as funções são
e
.
Passo 3
Vamos substituir as funções na fórmula do produto interno:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 4
A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos identificar as partes:
- Escolha
então - Escolha
então
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 5
Vamos calcular a integral restante:
Agora, substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração. Agora, vamos calcular o valor definido de 1 a 2:
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo:
Resposta
O produto interno de
e
no espaço
é:
Exercícios relacionados
Considere os vetores
. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
(a) Os vetores u e v são li.
(b) é uma base de
.
© O ângulo entre v e w é .
(d) Os vetores u e v sao ortogonais.
(e) Os vetores u, v, w são ld.
(a) Os vetores u e v são li.
(b)
© O ângulo entre v e w é
(d) Os vetores u e v sao ortogonais.
(e) Os vetores u, v, w são ld.
Encontre o valor de
para que o produto das matrizes
e
seja uma matriz simétrica.
Analise as afirmações abaixo e assinale V (verdadeiro) e F (Falso). Justifique.
( ) é uma base de
.
( ) é uma base de
.
( ) é uma base de
.
( ) é uma base de
.
( ) é uma base de
.
( ) é uma base de
.
( ) é uma base de
.
( ) é uma base de
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Apresente uma base de
diferente da base canônica.