Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três vetores no espaço tridimensional: u, v e w. Temos cinco afirmações sobre esses vetores e precisamos dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, explicando o porquê. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como independência linear, base de um espaço vetorial, ângulo entre vetores, ortogonalidade e dependência linear. Vamos precisar calcular produtos escalares, magnitudes e verificar relações entre os vetores.
Passo 2
Item (a): Os vetores u e v são linearmente independentes (li).
Para verificar se u e v são linearmente independentes, precisamos ver se não existe um número escalar k tal que v = ku. Se não houver tal k, eles são independentes.
Vamos comparar os componentes:
u = -1 j + 2 k → (0, -1, 2)
v = 1 i + 1 j - 2 k → (1, 1, -2)
Se houvesse um k tal que (1, 1, -2) = k (0, -1, 2), então:
1 = 0*k → k seria indefinido.
Como isso não é possível, u e v são linearmente independentes.
Passo 3
Item (b): {u, v} é uma base de ℝ³.
Uma base de ℝ³ precisa ter exatamente três vetores que são linearmente independentes. Aqui, temos apenas dois vetores (u e v). Mesmo que sejam independentes, faltaria um terceiro vetor para completar a base.
Para encontrar o ângulo entre v e w, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar v ⋅ w:
Agora, as magnitudes:
Então:
Agora, , que é diferente de .
Portanto, o ângulo entre v e w não é π/4.
Passo 5
Item (d): Os vetores u e v são ortogonais.
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
Calculando u ⋅ v:
Como u ⋅ v ≠ 0, os vetores u e vnão são ortogonais.
Passo 6
Item (e): Os vetores u, v, w são linearmente dependentes (ld).
Para verificar se três vetores são linearmente dependentes, podemos calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for zero, eles são dependentes.
Matriz:
Calculando o determinante:
det = 0 times (1 times 1 - (-2) times 2) - (-1) times (1 times 1 - (-2) times 1) + 2 times (1 times 2 - 1 times 1)
= 0 times (1 + 4) - (-1) times (1 + 2) + 2 times (2 - 1)
= 0 + 3 + 2 = 5
Como o determinante é diferente de zero (5 ≠ 0), os vetores u, v, w são linearmente independentes. Portanto, a afirmação de que são dependentes é falsa.