Considere os vetores u=-1 j+2 k, v=1 i+1 j-2 k e w=1 i+2 j+1 k. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
(a) Os vetores u e v são li.
(b) u, v é uma base de R^3.
© O ângulo entre v e w é pi / 4.
(d) Os vetores u e v sao ortogonais.
(e) Os vetores u, v, w são ld.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três vetores no espaço tridimensional: u, v e w. Temos cinco afirmações sobre esses vetores e precisamos dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, explicando o porquê. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como independência linear, base de um espaço vetorial, ângulo entre vetores, ortogonalidade e dependência linear. Vamos precisar calcular produtos escalares, magnitudes e verificar relações entre os vetores.

Passo 2

Item (a): Os vetores u e v são linearmente independentes (li).
Para verificar se u e v são linearmente independentes, precisamos ver se não existe um número escalar k tal que v = k u. Se não houver tal k, eles são independentes.
Vamos comparar os componentes:
  • u = -1 j + 2 k → (0, -1, 2)
  • v = 1 i + 1 j - 2 k → (1, 1, -2)
Se houvesse um k tal que (1, 1, -2) = k (0, -1, 2), então:
  • 1 = 0*k → k seria indefinido.
Como isso não é possível, u e v são linearmente independentes.

Passo 3

Item (b): {u, v} é uma base de ℝ³.
Uma base de ℝ³ precisa ter exatamente três vetores que são linearmente independentes. Aqui, temos apenas dois vetores (u e v). Mesmo que sejam independentes, faltaria um terceiro vetor para completar a base.
Portanto, {u, v} não é uma base de ℝ³.

Passo 4

Item ©: O ângulo entre v e w é π/4.
Para encontrar o ângulo entre v e w, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = v cdot w||v|| , ||w||
Primeiro, calculamos o produto escalar vw:
v cdot w = (1)(1) + (1)(2) + (-2)(1) = 1 + 2 - 2 = 1
Agora, as magnitudes:
||v|| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
||w|| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Então:
cos(theta) = 1raiz6 times raiz6 = 16
Agora, , que é diferente de .
Portanto, o ângulo entre v e w não é π/4.

Passo 5

Item (d): Os vetores u e v são ortogonais.
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
Calculando uv:
u cdot v = (0)(1) + (-1)(1) + (2)(-2) = 0 - 1 - 4 = -5
Como uv ≠ 0, os vetores u e v não são ortogonais.

Passo 6

Item (e): Os vetores u, v, w são linearmente dependentes (ld).
Para verificar se três vetores são linearmente dependentes, podemos calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for zero, eles são dependentes.
Matriz:
0 & -1 & 2 1 & 1 & -2 1 & 2 & 1
Calculando o determinante:
det = 0 times (1 times 1 - (-2) times 2) - (-1) times (1 times 1 - (-2) times 1) + 2 times (1 times 2 - 1 times 1)
= 0 times (1 + 4) - (-1) times (1 + 2) + 2 times (2 - 1)
= 0 + 3 + 2 = 5
Como o determinante é diferente de zero (5 ≠ 0), os vetores u, v, w são linearmente independentes. Portanto, a afirmação de que são dependentes é falsa.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Falso
© Falso
(d) Falso
(e) Falso

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( ) beta=[(1,2),(2,4)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(2,0),(0,2)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(1,0),(0,1),(3,4)] é uma base de R^2.
( ) beta=[(1,0),(2,4),(0,3)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(2,-1),(3,5),(7,1)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(1,2,1),(-1,-3,0)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0)] é uma base de R^3.
( ) beta=[(0,2,1),(2,3,0),(1,0,1)] é uma base de R^3.