Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(i) Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para analisar se a afirmação “Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente” é verdadeira ou falsa. Vamos mergulhar no mundo das séries alternadas e entender o que é convergência condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente. Por exemplo:
onde é sempre positivo.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa uma série ser condicionalmente convergente. Uma série é dita condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos seus valores absolutos diverge. Em outras palavras:
  • A série converge.
  • A série não converge.

Passo 4

A afirmação diz que toda série alternada convergente é condicionalmente convergente. Mas será que isso é verdade? Na realidade, existem séries alternadas que são absolutamente convergentes, ou seja, que também converge. Por exemplo:
Essa série alternada converge (pelo Teste da Série Alternada), e a série dos valores absolutos também converge (é conhecida como a série p onde ). Portanto, essa série é absolutamente convergente, não condicionalmente.

Passo 5

Como existe pelo menos uma série alternada que é absolutamente convergente, a afirmação “Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente” é falsa.

Resposta

Falsa. Nem toda série alternada convergente é condicionalmente convergente, já que existem séries alternadas que são absolutamente convergentes.

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