Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(i) Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente.
(i) Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para analisar se a afirmação “Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente” é verdadeira ou falsa. Vamos mergulhar no mundo das séries alternadas e entender o que é convergência condicional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente. Por exemplo:
onde
é sempre positivo.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa uma série ser condicionalmente convergente. Uma série é dita condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos seus valores absolutos diverge. Em outras palavras:
- A série
converge. - A série
não converge.
Passo 4
A afirmação diz que toda série alternada convergente é condicionalmente convergente. Mas será que isso é verdade? Na realidade, existem séries alternadas que são absolutamente convergentes, ou seja, que
também converge. Por exemplo:
Essa série alternada converge (pelo Teste da Série Alternada), e a série dos valores absolutos
também converge (é conhecida como a série p onde
). Portanto, essa série é absolutamente convergente, não condicionalmente.
Passo 5
Como existe pelo menos uma série alternada que é absolutamente convergente, a afirmação “Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente” é falsa.
Resposta
Falsa. Nem toda série alternada convergente é condicionalmente convergente, já que existem séries alternadas que são absolutamente convergentes.