Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(f) sumn=1^infty 1raizn(n+1)(raizn+1+raizn)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o termo geral da sequência de somas parciais da série . Vamos usar conceitos de séries infinitas e somas parciais para resolver isso. Precisaremos simplificar a expressão e verificar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
1raizn(n+1)(raizn+1+raizn)
Vamos reescrever o denominador para facilitar a simplificação.

Passo 3

Observe que raizn cdot raizn+1 cdot (raizn+1 + raizn) . Então, podemos reescrever o denominador assim:

Passo 4

Agora, para simplificar ainda mais, vamos multiplicar o numerador e o denominador por 1raizn cdot raizn+1 cdot (raizn+1 + raizn) times raizn+1 - raiznraizn+1 - raizn = raizn+1 - raizn(raizn+1 + raizn)(raizn+1 - raizn) cdot raizn cdot raizn+1 . Isso é chamado de racionalização e ajuda a eliminar as raízes no denominador.

Passo 5

Simplificando o denominador usando a diferença de quadrados:
(raizn+1 + raizn)(raizn+1 - raizn) = (n+1) - n = 1
Então, a expressão fica:
raizn+1 - raiznraizn cdot raizn+1 = raizn+1 - raiznraizn(n+1)

Passo 6

Perceba que . Isso mostra que o termo geral da série é uma diferença que facilita a soma dos termos.

Passo 7

Agora, vamos escrever a soma parcial SN = sumn=1^N ( 1raizn - 1raizn+1 ) até o termo :

Passo 8

Somando os termos, observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam:
SN = ( 1raiz1 - 1raiz2 ) + ( 1raiz2 - 1raiz3 ) + cdots + ( 1raizN - 1raizN+1 )
Após o cancelamento, resta:
SN = 1 - 1raizN+1

Passo 9

Para determinar se a série converge, analisamos o limite de limN to infty SN = limN to infty (1 - 1raizN+1 ) = 1 - 0 = 1 quando tende ao infinito:

Resposta

A série converge e sua soma é igual a 1.

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