Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(f)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o termo geral da sequência de somas parciais da série
. Vamos usar conceitos de séries infinitas e somas parciais para resolver isso. Precisaremos simplificar a expressão e verificar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
Vamos reescrever o denominador para facilitar a simplificação.
Passo 3
Observe que
. Então, podemos reescrever o denominador assim:
Passo 4
Agora, para simplificar ainda mais, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
. Isso é chamado de racionalização e ajuda a eliminar as raízes no denominador.
Passo 5
Simplificando o denominador usando a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Perceba que
. Isso mostra que o termo geral da série é uma diferença que facilita a soma dos termos.
Passo 7
Agora, vamos escrever a soma parcial
até o termo
:
Passo 8
Somando os termos, observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam:
Após o cancelamento, resta:
Passo 9
Para determinar se a série converge, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Resposta
A série converge e sua soma é igual a 1.