Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(n) O raio de convergência da série da série é infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a afirmação sobre o raio de convergência da série é verdadeira ou falsa. O raio de convergência nos diz até onde a série converge, ou seja, para quais valores de a soma infinita dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele é um número tal que a série converge para todo com , onde é o centro da série. Se for infinito, significa que a série converge para qualquer valor de , ou seja, não tem limite de convergência.
Passo 3
Agora, aplicando o teste da razão, a gente analisa o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos identificar o termo geral an = (-1)^n(3x -5)^2n2^2n(n!)^2 da nossa série:
an+1 = (-1)^n+1(3x -5)^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2
Então, o termo seguinte é:
Passo 5
Agora, vamos montar a razão an+1an = (-1)^n+1(3x -5)^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2 times 2^2n(n!)^2(-1)^n(3x -5)^2n = -(3x -5)^24(n+1)^2 :
| an+1an | = (3x -5)^24(n+1)^2
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não afeta:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty (3x -5)^24(n+1)^2 :
L = 0
Como tende ao infinito, e o numerador é uma constante em relação a , o limite será:
Passo 7
Como , pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O raio de convergência da série é infinito.