Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
, ou ainda, para determinar
e
.
, onde
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
, onde
e
. O objetivo é usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais
e
. Isso envolve entender como
depende de
e
através de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais derivadas precisamos calcular usando a Regra da Cadeia. Para encontrar
e
, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
, e das derivadas de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função
é
.
A derivada de
em relação a
é:
De forma similar, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
e
.
Para
:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Passo 6
Simplificamos ainda mais substituindo
e
com suas expressões em termos de
e
:
Então:
Perceba que os termos no numerador se cancelam:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
usando a mesma abordagem da Regra da Cadeia:
Substituindo os valores:
Passo 8
Novamente, substituímos
e
:
Simplificando o numerador:
Como
:
E já que
:
Resposta
As derivadas parciais são: