Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t, ou ainda, para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=ln (x^2+y^2), onde x=cos s cos t e y=sin s cos t.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função , onde e . O objetivo é usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais e . Isso envolve entender como depende de e através de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais derivadas precisamos calcular usando a Regra da Cadeia. Para encontrar e , precisamos das derivadas parciais de em relação a e , e das derivadas de e em relação a e .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial zpartial x = 2xx^2 + y^2 em relação a partial zpartial y = 2yx^2 + y^2 e . A função é .
A derivada de em relação a é:
De forma similar, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial s = -sin s cos t e partial xpartial t = -cos s sin t e partial ypartial s = cos s cos t e partial ypartial t = -sin s sin t em relação a e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial s = 2xx^2 + y^2 cdot (-sin s cos t) + 2yx^2 + y^2 cdot (cos s cos t) .
Para partial zpartial s = 2(-x sin s cos t + y cos s cos t)x^2 + y^2 :
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:

Passo 6

Simplificamos ainda mais substituindo x = cos s cos t e y = sin s cos t e partial zpartial s = 2(-cos s cos t sin s cos t + sin s cos t cos s cos t)(cos s cos t)^2 + (sin s cos t)^2 com suas expressões em termos de - cos s sin s cos^2 t + cos s sin s cos^2 t = 0 e partial zpartial s = 0 :
Então:
Perceba que os termos no numerador se cancelam:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t usando a mesma abordagem da Regra da Cadeia:
partial zpartial t = 2xx^2 + y^2 cdot (-cos s sin t) + 2yx^2 + y^2 cdot (-sin s sin t)
Substituindo os valores:

Passo 8

Novamente, substituímos partial zpartial t = 2(cos s cos t)(- cos s sin t) + 2(sin s cos t)(- sin s sin t)(cos s cos t)^2 + (sin s cos t)^2 e -2 cos^2 s cos t sin t - 2 sin^2 s cos t sin t = -2 cos t sin t (cos^2 s + sin^2 s) :
partial zpartial t = -2 cos t sin tcos^2 t + sin^2 t
Simplificando o numerador:
partial zpartial t = -2 cos t sin t
Como :
E já que :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 0 e partial zpartial t = -2 cos t sin t

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