Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(h) Se sumn=1^infty un converge, então sumn=1^infty raizun também converge.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre séries infinitas: “Se a série converge, então a série também converge.” Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e contra-exemplos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitos termos. Por exemplo, a série converge porque somar todos esses termos resulta em , que é um número finito.

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se converge, então também converge. Para verificar se isso é sempre verdade, podemos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, um caso onde converge, mas não converge.

Passo 4

Vamos escolher . Sabemos que a série converge, como mencionei antes. Agora, vamos olhar para a série .

Passo 5

A série é conhecida como a série harmônica, e ela não converge; na verdade, ela diverge para o infinito. Isso significa que, apesar de convergir, não converge nesse caso.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se , então converge, mas diverge.

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