Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(h) Se
converge, então
também converge.
(h) Se
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre séries infinitas: “Se a série
converge, então a série
também converge.” Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e contra-exemplos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir. Uma série
converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitos termos. Por exemplo, a série
converge porque somar todos esses termos resulta em
, que é um número finito.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se
converge, então
também converge. Para verificar se isso é sempre verdade, podemos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, um caso onde
converge, mas
não converge.
Passo 4
Vamos escolher
. Sabemos que a série
converge, como mencionei antes. Agora, vamos olhar para a série
.
Passo 5
A série
é conhecida como a série harmônica, e ela não converge; na verdade, ela diverge para o infinito. Isso significa que, apesar de
convergir,
não converge nesse caso.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, se
, então
converge, mas
diverge.