Calcule a diferencial (notação clássica) das funções , no ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a sua diferencial no ponto . Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial para funções de várias variáveis, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
A diferencial de uma função de duas variáveis, , é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essas derivadas nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Isso porque, ao derivar em relação a , obtemos , e é tratado como uma constante.
Agora, a derivada parcial em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , que resulta em , enquanto é tratado como constante.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico .
Calculando em :
Calculando em :
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da diferencial:
Como estamos avaliando no ponto , podemos expressar e como variações a partir desse ponto: