Considere a superfície S sendo a região da calota superior do elipsoide x^2 + y^2 + 2 z^2 = 9 compreendida entre z = 1 e z = 2. Descreva S na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de f(x, y, z) = z sobre S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever a superfície da calota superior do elipsoide entre e de forma paramétrica. Depois, temos que calcular a integral de superfície da função sobre . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar uma superfície e como calcular integrais de superfície usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . O elipsoide dado é . Para facilitar, vamos resolver essa equação para :
Como estamos considerando a calota superior entre e , precisamos expressar em termos de parâmetros. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície, definindo:
Aqui, vai variar de 0 até o valor máximo que mantém , e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de . Sabemos que deve estar entre 1 e 2:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando por 2:
Resolvendo para :
Portanto, varia de até .

Passo 4

Agora que temos a parametrização da superfície, vamos calcular a integral de superfície da função sobre . A integral de superfície em coordenadas paramétricas é dada por:
Primeiro, encontramos os vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:
A norma desse vetor é:
Simplificando:
Mas para simplificar o cálculo, podemos observar que o termo dominante é , então mantemos a expressão original para integração.

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral de superfície de sobre a superfície é igual a:

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