Considere a superfície sendo a região da calota superior do elipsoide compreendida entre e . Descreva na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de sobre .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever a superfície da calota superior do elipsoide entre e de forma paramétrica. Depois, temos que calcular a integral de superfície da função sobre . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar uma superfície e como calcular integrais de superfície usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . O elipsoide dado é . Para facilitar, vamos resolver essa equação para :
Como estamos considerando a calota superior entre e , precisamos expressar em termos de parâmetros. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície, definindo:
Aqui, vai variar de 0 até o valor máximo que mantém , e varia de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de . Sabemos que deve estar entre 1 e 2:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando por 2:
Resolvendo para :
Portanto, varia de até .
Passo 4
Agora que temos a parametrização da superfície, vamos calcular a integral de superfície da função sobre . A integral de superfície em coordenadas paramétricas é dada por:
Primeiro, encontramos os vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:
A norma desse vetor é:
Simplificando:
Mas para simplificar o cálculo, podemos observar que o termo dominante é , então mantemos a expressão original para integração.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral de superfície de sobre a superfície é igual a: