Calcule a diferencial (notação clássica) das funções
z = y^3 ln(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a diferencial da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente calculando a diferencial clássica de uma função de duas variáveis. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular as derivadas parciais e aplicar a fórmula da diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Note que pode ser simplificado usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que . Assim, nossa função fica:
Isso vai facilitar os cálculos das derivadas parciais.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
    A derivada de em relação a é . Então:
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
    Aqui, tratamos como constante. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora montar a diferencial clássica . A fórmula da diferencial para uma função de duas variáveis é:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

A diferencial clássica da função é:

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