Considere a chapa delgada descrita pela superfície parametrizada sigma(u, v) = (u, v, 3 u +) (v, u, v) in [0, 1] x [0, 1], e a função densidade superficial de massa rho(x, y, z) = 2*x + 3*y + z. Calcule o momento de inércia dessa superfície em relação ao eixo z e o centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa delgada definida pela superfície parametrizada , onde e variam de 0 a 1. Além disso, a densidade superficial de massa é dada por . Nosso objetivo é calcular o momento de inércia dessa superfície em relação ao eixo e também encontrar o centro de massa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais em superfícies parametrizadas e entender como aplicar a densidade na distribuição de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o momento de inércia em relação ao eixo . O momento de inércia para uma superfície é dado pela integral dupla sobre a superfície:
Aqui, é a densidade superficial e é o elemento de área da superfície.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos expressar tudo em termos das variáveis e . Primeiro, vamos encontrar o elemento de área . Dada a parametrização , calculamos as derivadas parciais:
O elemento de área é o módulo do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
Então,

Passo 4

Agora, vamos expressar a função densidade em termos de e . Como , temos:
Substituindo na densidade:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para o momento de inércia :
Vamos calcular essa integral dupla agora.

Passo 6

Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo em de 0 a 1:
Substituindo e :
Agora, integramos em de 0 a 1:
Substituindo e :

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo para obter o momento de inércia:

Passo 8

Agora, vamos calcular o centro de massa . As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Onde é a massa total da superfície, dada por:

Passo 9

Primeiro, calculamos a massa :
Então,

Passo 10

Agora, calculamos :
Simplificando:

Passo 11

De forma similar, calculamos :

Passo 12

Por fim, calculamos :
Simplificando:
Integrando em :
Integrando em :
Então,

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo é e o centro de massa da superfície é .

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