Considere a chapa delgada descrita pela superfície parametrizada , e a função densidade superficial de massa . Calcule o momento de inércia dessa superfície em relação ao eixo z e o centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa delgada definida pela superfície parametrizada , onde e variam de 0 a 1. Além disso, a densidade superficial de massa é dada por . Nosso objetivo é calcular o momento de inércia dessa superfície em relação ao eixo e também encontrar o centro de massa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais em superfícies parametrizadas e entender como aplicar a densidade na distribuição de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o momento de inércia em relação ao eixo . O momento de inércia para uma superfície é dado pela integral dupla sobre a superfície:
Aqui, é a densidade superficial e é o elemento de área da superfície.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos expressar tudo em termos das variáveis e . Primeiro, vamos encontrar o elemento de área . Dada a parametrização , calculamos as derivadas parciais:
O elemento de área é o módulo do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
Então,
Passo 4
Agora, vamos expressar a função densidade em termos de e . Como , temos:
Substituindo na densidade:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para o momento de inércia :
Vamos calcular essa integral dupla agora.
Passo 6
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo em de 0 a 1:
Substituindo e :
Agora, integramos em de 0 a 1:
Substituindo e :
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo para obter o momento de inércia:
Passo 8
Agora, vamos calcular o centro de massa . As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Onde é a massa total da superfície, dada por:
Passo 9
Primeiro, calculamos a massa :
Então,
Passo 10
Agora, calculamos :
Simplificando:
Passo 11
De forma similar, calculamos :
Passo 12
Por fim, calculamos :
Simplificando:
Integrando em :
Integrando em :
Então,
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo é e o centro de massa da superfície é .