Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(m) Se a sequência
converge então a série
também converge.
(m) Se a sequência
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se a sequência
converge, então a série
também converge.” Aqui, estamos lidando com conceitos de sequências convergentes e séries convergentes. Para resolver isso, vamos entender como a convergência de uma sequência afeta a convergência de uma série formada pelas diferenças dos seus termos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
aumenta,
se aproxima cada vez mais de
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, consideremos a série
. Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros
termos:
Passo 4
Para verificar a convergência da série, observamos o comportamento do termo
quando
tende ao infinito. Sabemos que
converge para
, então:
Passo 5
Como o limite do somatório parcial
existe e é finito (
), concluímos que a série
converge.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se a sequência
converge, então a série
também converge.