Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(m) Se a sequência un converge então a série sumn=1^infty(un+1-un) também converge.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se a sequência converge, então a série também converge.” Aqui, estamos lidando com conceitos de sequências convergentes e séries convergentes. Para resolver isso, vamos entender como a convergência de uma sequência afeta a convergência de uma série formada pelas diferenças dos seus termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência converge para um limite se, à medida que aumenta, se aproxima cada vez mais de . Isso significa que .

Passo 3

Agora, consideremos a série sumn=1^N(un+1 - un) = (u2 - u1) + (u3 - u2) + dots + (uN+1 - uN) = uN+1 - u1 . Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos:

Passo 4

Para verificar a convergência da série, observamos o comportamento do termo limN to infty (uN+1 - u1) = L - u1 quando tende ao infinito. Sabemos que converge para , então:

Passo 5

Como o limite do somatório parcial existe e é finito ( ), concluímos que a série converge.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se a sequência converge, então a série também converge.

Exercícios relacionados