Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(a) sumn=1^infty 1n 3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste de comparação para verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries infinitas e como comparar termos delas com séries que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando seus termos com os termos de outra série cuja convergência já conhecemos. Existem dois casos principais:
  1. Se compararmos com uma série menor que converge, então a série original também converge.
  2. Se compararmos com uma série maior que diverge, então a série original também diverge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série que temos: . Observe que é sempre menor que para todo , porque faz com que o denominador de seja maior que o de .

Passo 4

A série que vamos usar para comparar �� . Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . Como , a série converge.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação, já que e a série converge, então podemos concluir que a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste de comparação.

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