Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste de comparação para verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries infinitas e como comparar termos delas com séries que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando seus termos com os termos de outra série cuja convergência já conhecemos. Existem dois casos principais:
- Se compararmos com uma série menor que converge, então a série original também converge.
- Se compararmos com uma série maior que diverge, então a série original também diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série que temos:
. Observe que
é sempre menor que
para todo
, porque
faz com que o denominador de
seja maior que o de
.
Passo 4
A série que vamos usar para comparar ��
. Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
. Como
, a série
converge.
Passo 5
Aplicando o teste de comparação, já que
e a série
converge, então podemos concluir que a nossa série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste de comparação.