Calcule, se possível, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
,
e
, na direção do vetor unitário normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira de um sólido definido por
, com
,
e
. Para isso, vamos usar dois métodos: a definição direta de fluxo e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é fluxo, como calcular integrais de superfície e aplicar o Teorema da Divergência para simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluído” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície daquilo que o campo vetorial faz com o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos começar calculando o fluxo pela definição. Precisamos encontrar a normal externa à superfície
e então calcular a integral de
sobre
. A superfície
é o plano
no primeiro octante (
).
Passo 4
Para achar o vetor normal
, observamos que o plano
tem como vetor normal
. Como queremos o vetor normal externo, mantemos essa direção. A unidade normal fica
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Então, o fluxo é:
Passo 6
Para calcular essa integral de superfície, seria necessário parametrizar a superfície ou usar coordenadas apropriadas, o que pode ser um pouco complicado. Por isso, vamos optar pelo Teorema da Divergência, que simplifica bastante o nosso trabalho.
Passo 7
O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de
através da fronteira de um sólido
é igual à integral tripla do divergente de
sobre todo o volume
:
Então, vamos calcular
.
Passo 8
O divergente de
é:
Passo 9
Então, a integral tripla que precisamos calcular é:
Agora, vamos descrever o volume
. É o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
. Os limites de integração são:
Passo 10
Vamos integrar
sobre esse volume:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 11
Agora, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 12
Por último, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido
na direção do vetor unitário normal exterior é
.