Calcule, se possível, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x^2, -x * y, x + y^2) sobre a fronteira do sólido descrito por B: x + y + z = 1, z ≥ 0, x >= 0 e y ≥ 0, na direção do vetor unitário normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial sobre a fronteira de um sólido definido por , com , e . Para isso, vamos usar dois métodos: a definição direta de fluxo e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é fluxo, como calcular integrais de superfície e aplicar o Teorema da Divergência para simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluído” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície daquilo que o campo vetorial faz com o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos começar calculando o fluxo pela definição. Precisamos encontrar a normal externa à superfície e então calcular a integral de sobre . A superfície é o plano no primeiro octante ( ).

Passo 4

Para achar o vetor normal , observamos que o plano tem como vetor normal . Como queremos o vetor normal externo, mantemos essa direção. A unidade normal fica .

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Então, o fluxo é:

Passo 6

Para calcular essa integral de superfície, seria necessário parametrizar a superfície ou usar coordenadas apropriadas, o que pode ser um pouco complicado. Por isso, vamos optar pelo Teorema da Divergência, que simplifica bastante o nosso trabalho.

Passo 7

O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de através da fronteira de um sólido é igual à integral tripla do divergente de sobre todo o volume :
Então, vamos calcular .

Passo 8

O divergente de é:

Passo 9

Então, a integral tripla que precisamos calcular é:
Agora, vamos descrever o volume . É o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano . Os limites de integração são:

Passo 10

Vamos integrar sobre esse volume:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 11

Agora, integramos em relação a :
Simplificando:

Passo 12

Por último, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:

Resposta

O fluxo do campo vetorial sobre a fronteira do sólido na direção do vetor unitário normal exterior é .

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