O campo magnético gerado por uma carga na origem é dado por
a) Mostre que o fluxo do campo
através de qualquer esfera centrada na origem, de raio
, na direção do vetor unitário normal exterior é igual
.
b) Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a). Por quê?
b) Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a). Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo magnético através de uma esfera e depois verificar uma diferença com o teorema da divergência. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo de um campo através de uma superfície e o teorema da divergência. Preparado? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quilo” do campo passa por essa superfície. A fórmula geral para o fluxo é:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é o vetor normal unitário na direção externa da superfície. -
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à esfera centrada na origem com raio
. A esfera é simétrica, então podemos simplificar os cálculos. O vetor normal externo
em cada ponto da esfera é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula do fluxo:
Passo 5
Simplificando a expressão. Note que
, já que na esfera
. Então:
Resposta
O fluxo do campo
através de qualquer esfera centrada na origem de raio
é igual a
.