O campo magnético gerado por uma carga na origem é dado por
F(x, y, z) = q * (x * i + y * j + z * k) / raiz((x^2 + y^2 + z^2)^3)
a) Mostre que o fluxo do campo F através de qualquer esfera centrada na origem, de raio r > 0, na direção do vetor unitário normal exterior é igual 4 q pi.
b) Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a). Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo magnético através de uma esfera e depois verificar uma diferença com o teorema da divergência. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo de um campo através de uma superfície e o teorema da divergência. Preparado? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quilo” do campo passa por essa superfície. A fórmula geral para o fluxo é:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é o vetor normal unitário na direção externa da superfície.
  • é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à esfera centrada na origem com raio . A esfera é simétrica, então podemos simplificar os cálculos. O vetor normal externo em cada ponto da esfera é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio:

Passo 4

Substituindo e na fórmula do fluxo:

Passo 5

Simplificando a expressão. Note que , já que na esfera . Então:

Resposta

O fluxo do campo através de qualquer esfera centrada na origem de raio é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(h) sumn=1^infty 3 n+4n^3+3 n^2+2 n
Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, -y, 0) sobre a fronteira do sólido descrito por B: x^2 + z^2 <= 1 e 0 <= y <= 3, na direção do vetor unitário normal exterior.
Dado um número inteiro m, uma função f: R^n R é chamada positivamente homogênea de grau m se f(t x)=t^m f(x), para todo x in R^n e todo t in R, t>0. Demonstre:
Teorema (Euler) Se f: R^n backslash0 R é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau m >= 1, então f(x)=1m sumi=1^n xi partial fpartial xi(x), forall x=(x1, ldots, xn) in R^n backslash0.
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(g) Se a sequência un converge, então a série sumn=1^infty un também converge.