O campo magnético gerado por uma carga na origem é dado por
F(x, y, z) = q * (x * i + y * j + z * k) / raiz((x^2 + y^2 + z^2)^3)
a) Mostre que o fluxo do campo F através de qualquer esfera centrada na origem, de raio r > 0, na direção do vetor unitário normal exterior é igual 4 q pi.
b) Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a). Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo magnético através de uma esfera e depois verificar uma diferença com o teorema da divergência. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo de um campo através de uma superfície e o teorema da divergência. Preparado? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quilo” do campo passa por essa superfície. A fórmula geral para o fluxo é:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é o vetor normal unitário na direção externa da superfície.
  • é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à esfera centrada na origem com raio . A esfera é simétrica, então podemos simplificar os cálculos. O vetor normal externo em cada ponto da esfera é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio:

Passo 4

Substituindo e na fórmula do fluxo:

Passo 5

Simplificando a expressão. Note que , já que na esfera . Então:

Resposta

O fluxo do campo através de qualquer esfera centrada na origem de raio é igual a .

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