Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(k) Desenvolvendo a função
em série de potências obtém-se
.
(k) Desenvolvendo a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para analisar se a afirmação sobre a função
estar correta ao ser desenvolvida em uma série de potências. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração de séries, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como expandir a função exponencial
em uma série de potências. A série de Taylor para
é
. Substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, multiplicamos
por
:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos integrar essa série de 0 até
:
Passo 5
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (isso é válido devido à convergência da série):
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na série:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Desenvolvendo a função
em série de potências, chega-se de fato a:
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depositados anualmente a uma taxa de
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Resolva:
pontos
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. Será vantajoso aceitar esta proposta?