Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo: r(t) = (2t + 1, t^3 - 1, t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a curva parametrizada por . Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço, onde usamos derivadas para achar esses vetores importantes. Vamos precisar calcular as derivadas da posição em relação a e depois normalizar para obter os vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da posição em relação a , que nos dá o vetor velocidade:

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário , precisamos normalizar o vetor velocidade. Primeiro, calculamos o módulo de :

Passo 4

Com o módulo, podemos escrever o vetor tangente unitário :

Passo 5

Para encontrar o vetor normal unitário , precisamos derivar o vetor tangente em relação a e depois normalizar. Vamos começar calculando . Isso envolve derivar cada componente de , o que pode ser um pouco trabalhoso, mas seguimos passo a passo.

Passo 6

Após calcular , obtemos:
Isso envolve usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar cada componente.

Passo 7

Depois de encontrar , calculamos o seu módulo:

Passo 8

Finalmente, o vetor normal unitário é dado por:

Resposta

Os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva são:

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