Resolva:
pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa questão envolve o conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator que dependa apenas de
ou apenas de
.
Vamos assumir que o fator integrante
depende apenas de
. Então, temos:
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Substituindo os valores:
Esse resultado é complicado porque
dependeria de
também. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 4
Assumindo que o fator integrante
depende apenas de
, temos:
Substituindo os valores:
Ainda assim, fica complicado encontrar uma solução, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observando que
e
têm termos semelhantes, podemos definir:
Diferenciando ambos os lados:
Rearranjando a equação original:
Substituindo
:
Agrupando os termos com
:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos rearranjar para isolar
:
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(k) Desenvolvendo a função em série de potências obtém-se
.
(k) Desenvolvendo a função
Qual o montante produzido por R
depositados anualmente a uma taxa de
ao ano durante 5 anos?
0 Sr. Ângelo tomou emprestados R $50.000,00 a uma taxa de
ao mês, com promessa de saldar o compromisso após 1 ano. Atualmente, decorridos sete meses, foi procurado pelo seu credor, que lhe propôs a quitação por uma quantia de R
. Será vantajoso aceitar esta proposta?
Calcule, justificando cada passagem: