Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
§ O critério da integral garante que sumn=3^infty 1n ln n ln (ln n) converge.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. A questão nos apresenta uma série infinita:
sumn=3^infty 1n ln n ln (ln n)
E nos pede para analisar se, usando o critério da integral, essa série converge ou não. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando-as com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério da Integral. Esse critério diz que, para uma série integral3^infty 1x ln x ln (ln x) , dx onde é uma função positiva, contínua e decrescente para , a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, temos . Precisamos verificar se a integral correspondente converge:

Passo 3

Vamos resolver essa integral. Para simplificar, fazemos uma substituição:
Seja integral 1x ln x ln (ln x) , dx = integral 1u ln u , du , então .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, fazemos outra substituição:
Seja integral 1u ln u , du = integral 1v , dv = ln |v| + C = ln (ln u) + C = ln (ln (ln x)) + C , então .
Substituindo novamente:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento dessa função quando limx to infty ln (ln (ln x)) = infty tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge, ou seja, vai para infinito.

Passo 6

Segundo o Critério da Integral, se a integral diverge, então a série também diverge. Portanto, a série original:
sumn=3^infty 1n ln n ln (ln n)
também não converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Usando o Critério da Integral, a série diverge.

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