Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
§ O critério da integral garante que
converge.
§ O critério da integral garante que
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. A questão nos apresenta uma série infinita:
E nos pede para analisar se, usando o critério da integral, essa série converge ou não. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando-as com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério da Integral. Esse critério diz que, para uma série
onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, a série converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso, temos
. Precisamos verificar se a integral correspondente converge:
Passo 3
Vamos resolver essa integral. Para simplificar, fazemos uma substituição:
Seja
, então
.
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, fazemos outra substituição:
Seja
, então
.
Substituindo novamente:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento dessa função quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge, ou seja, vai para infinito.
Passo 6
Segundo o Critério da Integral, se a integral diverge, então a série também diverge. Portanto, a série original:
também não converge.
Resposta
A afirmação é falsa. Usando o Critério da Integral, a série
diverge.
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para
;
Calcule, justificando cada passagem:
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Encontre uma função de duas ou três variáveis
, tal que
:
;