Calcule, justificando cada passagem: d/dx (x^(sen(x)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de . Esse exercício envolve cálculo de derivadas onde a função tem uma base e um expoente que dependem da variável . Vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra da exponenciação com funções variáveis e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. Uma boa dica é usar logaritmos, pois eles transformam potências em multiplicações, o que simplifica a derivação. Então, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar a expressão:

Passo 4

Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
§ O critério da integral garante que sumn=3^infty 1n ln n ln (ln n) converge.
Calcule o vetor normal unitário associado às superfícies parametrizadas: r(u, v) = (u, v, u^2 + v^2) para 0 <= u <= pi;
Encontre uma função de duas ou três variáveis f, tal que F = nabla f : F(x, y) = 2xy^3 i + (1 + 3x^2y^2) j;
Verifique se a função y = x^(-2) ln(x) é solução da equação diferencial ordinária x^2 y'' + 5 x y' + 4 y = 0.