Encontre uma função de duas ou três variáveis
, tal que
:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função
de duas ou três variáveis tal que o campo vetorial
seja igual ao gradiente de
, ou seja,
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre gradientes e campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes do campo vetorial para descobrir qual é a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O gradiente de
,
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. No nosso caso, como temos
, podemos escrever:
Então, temos duas equações:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração em relação a
pode adicionar uma “constante” que, nesse caso, pode variar com
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
. Diferenciamos
em relação a
e igualamos à segunda componente do campo vetorial:
Simplificando, temos:
Passo 5
Integrando
em relação a
, obtemos:
Onde
é uma constante de integração. Como estamos procurando uma função potencial, podemos desconsiderar a constante.
Resposta
Portanto, a função que procuramos é:
Exercícios relacionados
Calcule, justificando cada passagem:
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
§ O critério da integral garante que converge.
§ O critério da integral garante que
Verifique se a função
é solução da equação diferencial ordinária
.
Seja
dada por:
Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.