Calcule o vetor normal unitário associado às superfícies parametrizadas: r(u, v) = (u, v, u^2 + v^2) para 0 <= u <= pi;

Passo 1

Então, a gente vai calcular o vetor normal unitário para a superfície parametrizada por . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial. Vamos precisar achar as derivadas de em relação a e , fazer o produto vetorial dessas derivadas e, por fim, normalizar o vetor resultante para que ele tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, que é exatamente o que queremos para o vetor normal.

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma (comprimento) do vetor e dividimos cada componente por essa norma.
Primeiro, calculamos a norma:

Passo 5

Finalmente, o vetor normal unitário é dado por:

Resposta

O vetor normal unitário associado à superfície é

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