Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(a) Toda sequência limitada é convergente.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Toda sequência limitada é convergente.” Aqui, estamos trabalhando com sequences (sequências) na matemática, especificamente explorando conceitos de limites, convergência e limitabilidade. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência ser limitada e o que significa ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo , o valor absoluto de é menor ou igual a . Em fórmula:
Isso significa que os termos da sequência não “crescem” além de certo limite superior ou abaixo de um limite inferior.

Passo 3

Agora, sobre convergência. Uma sequência converge para um limite se, à medida que aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de . Formalmente:
Isso quer dizer que após certo ponto na sequência, todos os termos estarão dentro de uma “faixa” pequena ao redor de .

Passo 4

Agora, vamos analisar a afirmação: “Toda sequência limitada é convergente.” Para verificar se isso é verdadeiro ou falso, podemos buscar contraexemplos. Se acharmos uma sequência que é limitada mas não converge, a afirmação é falsa.

Passo 5

Considere a sequência definida por:
Vamos verificar se essa sequência é limitada e se converge.
  • Limitada: Sim, porque para todo , . Então podemos escolher .
  • Convergente: Vamos ver se existe um limite . Se for par, ; se for ímpar, . Os termos não se aproximam de um único valor, já que alternam entre 1 e -1. Portanto, a sequência não converge.

Resposta

Falsa. Nem toda sequência limitada é convergente, como demonstrado pela sequência , que é limitada mas não converge.

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Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Resolva o P.V.I.
Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(b) Toda sequência limitada é monótona.
Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(a) na direção da reta .