Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(a) Toda sequência limitada é convergente.
(a) Toda sequência limitada é convergente.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Toda sequência limitada é convergente.” Aqui, estamos trabalhando com sequences (sequências) na matemática, especificamente explorando conceitos de limites, convergência e limitabilidade. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência ser limitada e o que significa ela convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que para todo
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Em fórmula:
Isso significa que os termos da sequência não “crescem” além de certo limite superior ou abaixo de um limite inferior.
Passo 3
Agora, sobre convergência. Uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente:
Isso quer dizer que após certo ponto na sequência, todos os termos estarão dentro de uma “faixa” pequena ao redor de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a afirmação: “Toda sequência limitada é convergente.” Para verificar se isso é verdadeiro ou falso, podemos buscar contraexemplos. Se acharmos uma sequência que é limitada mas não converge, a afirmação é falsa.
Passo 5
Considere a sequência
definida por:
Vamos verificar se essa sequência é limitada e se converge.
-
Limitada: Sim, porque para todo
, . Então podemos escolher . -
Convergente: Vamos ver se existe um limite
. Se for par, ; se for ímpar, . Os termos não se aproximam de um único valor, já que alternam entre 1 e -1. Portanto, a sequência não converge.
Resposta
Falsa. Nem toda sequência limitada é convergente, como demonstrado pela sequência
, que é limitada mas não converge.
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Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Resolva o P.V.I.
Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(b) Toda sequência limitada é monótona.
(b) Toda sequência limitada é monótona.
Calcule a derivada direcional da função
, no ponto
, na direção indicada.
(a) na direção da reta
.
(a)