Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(b) Toda sequência limitada é monótona.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Toda sequência limitada é monótona.” Aqui, estamos lidando com sequências numéricas, e os conceitos envolvidos são sequência limitada e sequência monótona. Para resolver, precisamos saber o que significa cada um desses termos.

Passo 2

Sequência limitada: Uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo , . Isso significa que os valores da sequência não vão além de certos limites, tanto positivos quanto negativos.
Sequência monótona: Uma sequência é monótona se é crescente ou decrescente. Ou seja, crescente se para todo , e decrescente se para todo .

Passo 3

A afirmação diz que toda sequência limitada é monótona. Para verificar se isso é verdadeiro ou falso, vamos pensar se sempre, sem exceção, uma sequência limitada tem que ser crescente ou decrescente.

Passo 4

Vamos considerar uma sequência que é limitada, mas não é monótona. Um exemplo simples é a sequência alternada:
Aqui, os termos são . Essa sequência é limitada porque todos os termos estão entre e . No entanto, ela não é monótona, pois os termos não estão sempre aumentando ou sempre diminuindo.

Passo 5

Como encontramos uma sequência que é limitada mas não é monótona, isso serve como um contraexemplo. Portanto, a afirmação de que toda sequência limitada é monótona é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, a sequência é limitada, mas não é monótona.

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Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(a) Toda sequência limitada é convergente.
Ache a transformada inversa de Laplace de cada função:
Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(a) na direção da reta .
Calcule a derivada direcional nos seguintes casos:
(b) e .