Calcule a derivada direcional da função z = f(x, y), no ponto P0, na direção indicada.
(a) z = x^3 + 5 x^2 y, P0(2,1) na direção da reta y = x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção da reta . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Precisamos do vetor de direção na direção da reta . Essa reta tem um vetor diretor . Para usar na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário. Calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional é .

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