Calcule a derivada direcional da função
, no ponto
, na direção indicada.
(a)
na direção da reta
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção da reta
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Precisamos do vetor de direção na direção da reta
. Essa reta tem um vetor diretor
. Para usar na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário. Calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional é
.