Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série sumn=1^infty 2^2 n 9^1-n é convergente e sua soma é igual a 365.

Passo 1

Ok, vamos analisar a afirmação de que a série é convergente e que sua soma é igual a . Vamos utilizar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
2^2n = (2^2)^n = 4^n
E
9^1-n = 9 cdot 9^-n = 9 cdot (19)^n
Então, o termo geral fica:
2^2n 9^1-n = 4^n cdot 9 cdot (19)^n = 9 cdot (49)^n

Passo 3

Agora, a série original pode ser reescrita como:
sumn=1^infty 9 cdot (49)^n
Podemos fatorar o 9:
9 cdot sumn=1^infty (49)^n

Passo 4

Reconhecemos que essa é uma série geométrica da forma |49| = 49 < 1, onde e .
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1:
Como , a série converge.

Passo 5

A soma de uma série geométrica convergente é dada por:
sumn=1^infty ar^n = ar1 - r
Aplicando os valores:
a = 9
r = 49
Portanto:
sumn=1^infty 9 cdot (49)^n = 9 cdot 491 - 49 = 459 = 4 cdot 95 = 365

Resposta

A afirmação é verdadeira. A série converge e sua soma é igual a .

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