Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série é convergente e sua soma é igual a .
Passo 1
Ok, vamos analisar a afirmação de que a série é convergente e que sua soma é igual a . Vamos utilizar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
E
Então, o termo geral fica:
Passo 3
Agora, a série original pode ser reescrita como:
Podemos fatorar o 9:
Passo 4
Reconhecemos que essa é uma série geométrica da forma , onde e .
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1:
Como , a série converge.
Passo 5
A soma de uma série geométrica convergente é dada por:
Aplicando os valores:
Portanto:
Resposta
A afirmação é verdadeira. A série converge e sua soma é igual a .