Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série é convergente e sua soma é igual a .

Passo 1

Ok, vamos analisar a afirmação de que a série é convergente e que sua soma é igual a . Vamos utilizar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
E
Então, o termo geral fica:

Passo 3

Agora, a série original pode ser reescrita como:
Podemos fatorar o 9:

Passo 4

Reconhecemos que essa é uma série geométrica da forma , onde e .
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1:
Como , a série converge.

Passo 5

A soma de uma série geométrica convergente é dada por:
Aplicando os valores:
Portanto:

Resposta

A afirmação é verdadeira. A série converge e sua soma é igual a .

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Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental .
(d)
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