Qual é o valor de lim x 1 x^2019-1x-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . O assunto aqui é limites, que é parte do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar essa expressão, especialmente quando o numerador e o denominador se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, observe que quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos usar uma propriedade das potências que nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

A propriedade que precisamos é que x^2019 - 1 = (x - 1)(x^2018 + x^2017 + dots + x + 1) . Aplicando isso ao numerador, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
x^2019 - 1x - 1 = (x - 1)(x^2018 + x^2017 + dots + x + 1)x - 1

Passo 5

Podemos simplificar cancelando o (x - 1)(x^2018 + x^2017 + dots + x + 1)x - 1 = x^2018 + x^2017 + dots + x + 1 no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, para encontrar o limite quando 1^2018 + 1^2017 + dots + 1 + 1 se aproxima de 1, substituímos por 1 na expressão simplificada:
Cada termo é igual a 1, então estamos somando 1 repetidamente.

Passo 7

Como existem 2019 termos nessa soma (de 1 + 1 + dots + 1 = 2019 termos = 2019 até ), a soma total será:

Resposta

O valor do limite é 2019.

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