Calcule a derivada da função
em todos os pontos possíveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
, que é definida de duas maneiras diferentes:
Então, vamos precisar usar as regras de derivação para funções diferentes quando
é diferente de zero e também verificar o que acontece quando
é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
quando
é diferente de zero. Nesse caso, a função é . Para derivar isso, vamos precisar usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Vamos chamar:
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é para funções compostas. A derivada de é
. Aqui,
, então:
Portanto:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos verificar a derivada em
. Para isso, precisamos ver se o limite da diferença quociente existe quando
se aproxima de zero:
Como
, fica:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
Como
tende a 0 quando
tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche, o limite também é 0. Portanto:
Resposta
A derivada da função
é dada por