Calcule a derivada da função
g(x) = { x^3 sen(1/x), se x ≠ 0; 0, se x = 0 }
em todos os pontos possíveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função , que é definida de duas maneiras diferentes:
Então, vamos precisar usar as regras de derivação para funções diferentes quando é diferente de zero e também verificar o que acontece quando é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de quando é diferente de zero. Nesse caso, a função é . Para derivar isso, vamos precisar usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Vamos chamar:
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é para funções compostas. A derivada de é . Aqui, , então:
Portanto:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos verificar a derivada em . Para isso, precisamos ver se o limite da diferença quociente existe quando se aproxima de zero:
Como , fica:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então:
Como tende a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche, o limite também é 0. Portanto:

Resposta

A derivada da função é dada por

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