Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial ( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de , mas não é uma base;
IIII é uma base para .
IV) conjunto formado pelos vetores que podem ser escritos como combinação dos elementos de tem dimensão 2 e dessa forma .
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. A questão apresenta quatro afirmações sobre conjuntos geradores e bases desse espaço. Nosso objetivo é analisar cada uma dessas afirmações para determinar quais são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador e uma base.
  • Conjunto Gerador: É um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) onde qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
  • Base: É um conjunto gerador que, além de gerar todo o espaço, é linearmente independente. Isso significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Vamos analisar cada afirmação uma por uma.

Passo 3

Afirmação I: é um conjunto gerador de .
Para verificar se A gera , precisamos ver se qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A.
Vamos considerar um polinômio geral . Queremos encontrar escalares , , e tais que:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
  • Constante:
  • Coeficiente de : (não há termo em no lado direito)
  • Coeficiente de :
Aqui vemos que para qualquer , não conseguimos satisfazer a equação, pois não há termo em no conjunto A. Portanto, A não gera todo o espaço .
Conclusão: A afirmação I é falsa.

Passo 4

Afirmação II: é um conjunto gerador de , mas não é uma base.
Primeiro, vamos verificar se B gera V.
Tomemos . Queremos encontrar , , tais que:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
  • Constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Como podemos resolver para qualquer , , e escolhendo e , e , o conjunto B gera todo o espaço .
Agora, vamos verificar se B é linearmente independente. Para isso, verificamos se a única solução para é .
Expandindo:
Isso implica:
  • Constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Da equação e , temos . Portanto, B é linearmente independente e, consequentemente, uma base.
Conclusão: A afirmação II está parcialmente errada. Ela corretamente afirma que B é um conjunto gerador, mas incorretamente diz que não é uma base. Na verdade, B é uma base.

Passo 5

Afirmação III: é uma base para .
Vamos verificar se C gera V e se é linearmente independente.
Tomemos . Precisamos encontrar , , tais que:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
  • Constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Podemos resolver para qualquer , , e escolhendo e , e então . Portanto, C gera todo o espaço .
Para verificar a independência linear, consideramos:
Expandindo:
Isso implica:
  • Constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Da equação e , temos . Portanto, C é linearmente independente e é uma base.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.

Passo 6

Afirmação IV: O conjunto formado pelos vetores que podem ser escritos como combinação dos elementos de tem dimensão 2 e dessa forma .
Primeiro, já vimos na Afirmação I que A não gera todo o espaço , pois não conseguimos expressar polinômios com termo em . Portanto, o conjunto é um subespaço de gerado por A, mas não é igual a V.
Além disso, para determinar a dimensão de W, observamos que A possui 3 elementos, mas como vimos na Afirmação I, eles são linearmente dependentes (já que 1 pode ser escrito como combinação de outros elementos). Portanto, a dimensão de W é 2.
Conclusão: A afirmação IV é falsa, pois embora W tenha dimensão 2, não é igual a V.

Resposta

V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
No entanto, conforme nossa análise, apenas a afirmação III é verdadeira. Portanto, a resposta correta é:
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.

Exercícios relacionados

Sejam e o conjunto . Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto que seja uma base para . Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.
Sejam e o conjunto . Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente . Caso não, justifique!
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
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