Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial V=P2 ( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
I-A=1,1-x^2, x^2 é um conjunto gerador de V
II -B=(1,1+x, 1+x^2 é um conjunto gerador de V, mas não é uma base;
IIII -C=(1,2+x, 3+x^2 é uma base para V.
IV) O conjunto W formado pelos vetores v que podem ser escritos como combinação dos elementos de A=1,1-x^2, x^2 tem dimensão 2 e dessa forma W=V.
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial V = P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. A questão apresenta quatro afirmações sobre conjuntos geradores e bases desse espaço. Nosso objetivo é analisar cada uma dessas afirmações para determinar quais são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador e uma base.
  • Conjunto Gerador: É um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) onde qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
  • Base: É um conjunto gerador que, além de gerar todo o espaço, é linearmente independente. Isso significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Vamos analisar cada afirmação uma por uma.

Passo 3

Afirmação I: A = 1, 1 - x^2, x^2 é um conjunto gerador de V.
Para verificar se A gera V, precisamos ver se qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A.
Vamos considerar um polinômio geral p(x) = a + bx + cx^2. Queremos encontrar escalares alpha, beta, e gamma tais que:
a + bx + cx^2 = alpha cdot 1 + beta cdot (1 - x^2) + gamma cdot x^2
Expandindo:
a + bx + cx^2 = alpha + beta - beta x^2 + gamma x^2
Comparando os coeficientes:
  • Constante: a = alpha + beta
  • Coeficiente de x: b = 0 (não há termo em x no lado direito)
  • Coeficiente de x^2: c = -beta + gamma
Aqui vemos que para qualquer b neq 0, não conseguimos satisfazer a equação, pois não há termo em x no conjunto A. Portanto, A não gera todo o espaço V.
Conclusão: A afirmação I é falsa.

Passo 4

Afirmação II: B = 1, 1 + x, 1 + x^2 é um conjunto gerador de V, mas não é uma base.
Primeiro, vamos verificar se B gera V.
Tomemos p(x) = a + bx + cx^2. Queremos encontrar alpha, beta, gamma tais que:
a + bx + cx^2 = alpha cdot 1 + beta cdot (1 + x) + gamma cdot (1 + x^2)
Expandindo:
a + bx + cx^2 = alpha + beta + beta x + gamma + gamma x^2
Comparando os coeficientes:
  • Constante: a = alpha + beta + gamma
  • Coeficiente de x: b = beta
  • Coeficiente de x^2: c = gamma
Como podemos resolver para qualquer a, b, e c escolhendo beta = b e gamma = c, e alpha = a - b - c, o conjunto B gera todo o espaço V.
Agora, vamos verificar se B é linearmente independente. Para isso, verificamos se a única solução para alpha cdot 1 + beta cdot (1 + x) + gamma cdot (1 + x^2) = 0 é alpha = beta = gamma = 0.
Expandindo:
alpha + beta + gamma + beta x + gamma x^2 = 0
Isso implica:
  • Constante: alpha + beta + gamma = 0
  • Coeficiente de x: beta = 0
  • Coeficiente de x^2: gamma = 0
Da equação beta = 0 e gamma = 0, temos alpha = 0. Portanto, B é linearmente independente e, consequentemente, uma base.
Conclusão: A afirmação II está parcialmente errada. Ela corretamente afirma que B é um conjunto gerador, mas incorretamente diz que não é uma base. Na verdade, B é uma base.

Passo 5

Afirmação III: C = 1, 2 + x, 3 + x^2 é uma base para V.
Vamos verificar se C gera V e se é linearmente independente.
Tomemos p(x) = a + bx + cx^2. Precisamos encontrar alpha, beta, gamma tais que:
a + bx + cx^2 = alpha cdot 1 + beta cdot (2 + x) + gamma cdot (3 + x^2)
Expandindo:
a + bx + cx^2 = alpha + 2beta + 3gamma + beta x + gamma x^2
Comparando os coeficientes:
  • Constante: a = alpha + 2beta + 3gamma
  • Coeficiente de x: b = beta
  • Coeficiente de x^2: c = gamma
Podemos resolver para qualquer a, b, e c escolhendo beta = b e gamma = c, e então alpha = a - 2b - 3c. Portanto, C gera todo o espaço V.
Para verificar a independência linear, consideramos:
alpha cdot 1 + beta cdot (2 + x) + gamma cdot (3 + x^2) = 0
Expandindo:
alpha + 2beta + 3gamma + beta x + gamma x^2 = 0
Isso implica:
  • Constante: alpha + 2beta + 3gamma = 0
  • Coeficiente de x: beta = 0
  • Coeficiente de x^2: gamma = 0
Da equação beta = 0 e gamma = 0, temos alpha = 0. Portanto, C é linearmente independente e é uma base.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.

Passo 6

Afirmação IV: O conjunto W formado pelos vetores v que podem ser escritos como combinação dos elementos de A = 1, 1 - x^2, x^2 tem dimensão 2 e dessa forma W = V.
Primeiro, já vimos na Afirmação I que A não gera todo o espaço V, pois não conseguimos expressar polinômios com termo em x. Portanto, o conjunto W é um subespaço de V gerado por A, mas não é igual a V.
Além disso, para determinar a dimensão de W, observamos que A possui 3 elementos, mas como vimos na Afirmação I, eles são linearmente dependentes (já que 1 pode ser escrito como combinação de outros elementos). Portanto, a dimensão de W é 2.
Conclusão: A afirmação IV é falsa, pois embora W tenha dimensão 2, não é igual a V.

Resposta

V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
No entanto, conforme nossa análise, apenas a afirmação III é verdadeira. Portanto, a resposta correta é:
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.

Exercícios relacionados