Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial
( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II
é um conjunto gerador de
, mas não é uma base;
IIII
é uma base para
.
IV)
conjunto
formado pelos vetores
que podem ser escritos como combinação dos elementos de
tem dimensão 2 e dessa forma
.
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
II
IIII
IV)
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. A questão apresenta quatro afirmações sobre conjuntos geradores e bases desse espaço. Nosso objetivo é analisar cada uma dessas afirmações para determinar quais são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto gerador e uma base.
- Conjunto Gerador: É um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) onde qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
- Base: É um conjunto gerador que, além de gerar todo o espaço, é linearmente independente. Isso significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Vamos analisar cada afirmação uma por uma.
Passo 3
Afirmação I:
é um conjunto gerador de
.
Para verificar se A gera
, precisamos ver se qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A.
Vamos considerar um polinômio geral
. Queremos encontrar escalares
,
, e
tais que:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
- Constante:
- Coeficiente de
: (não há termo em no lado direito) - Coeficiente de
:
Aqui vemos que para qualquer
, não conseguimos satisfazer a equação, pois não há termo em
no conjunto A. Portanto, A não gera todo o espaço
.
Conclusão: A afirmação I é falsa.
Passo 4
Afirmação II:
é um conjunto gerador de
, mas não é uma base.
Primeiro, vamos verificar se B gera V.
Tomemos
. Queremos encontrar
,
,
tais que:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Como podemos resolver para qualquer
,
, e
escolhendo
e
, e
, o conjunto B gera todo o espaço
.
Agora, vamos verificar se B é linearmente independente. Para isso, verificamos se a única solução para
é
.
Expandindo:
Isso implica:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Da equação
e
, temos
. Portanto, B é linearmente independente e, consequentemente, uma base.
Conclusão: A afirmação II está parcialmente errada. Ela corretamente afirma que B é um conjunto gerador, mas incorretamente diz que não é uma base. Na verdade, B é uma base.
Passo 5
Afirmação III:
é uma base para
.
Vamos verificar se C gera V e se é linearmente independente.
Tomemos
. Precisamos encontrar
,
,
tais que:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Podemos resolver para qualquer
,
, e
escolhendo
e
, e então
. Portanto, C gera todo o espaço
.
Para verificar a independência linear, consideramos:
Expandindo:
Isso implica:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Da equação
e
, temos
. Portanto, C é linearmente independente e é uma base.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.
Passo 6
Afirmação IV: O conjunto
formado pelos vetores
que podem ser escritos como combinação dos elementos de
tem dimensão 2 e dessa forma
.
Primeiro, já vimos na Afirmação I que A não gera todo o espaço
, pois não conseguimos expressar polinômios com termo em
. Portanto, o conjunto
é um subespaço de
gerado por A, mas não é igual a V.
Além disso, para determinar a dimensão de W, observamos que A possui 3 elementos, mas como vimos na Afirmação I, eles são linearmente dependentes (já que 1 pode ser escrito como combinação de outros elementos). Portanto, a dimensão de W é 2.
Conclusão: A afirmação IV é falsa, pois embora W tenha dimensão 2, não é igual a V.
Resposta
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
No entanto, conforme nossa análise, apenas a afirmação III é verdadeira. Portanto, a resposta correta é:
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
Exercícios relacionados
Sejam
e o conjunto
. Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto que seja uma base para
. Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto
Sejam
e o conjunto
. Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente
. Caso não, justifique!
a) Se
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.