Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação quadrática em três variáveis: , e . Nosso objetivo aqui é reduzir essa equação e identificar qual tipo de superfície quádrupla ela representa. Para isso, vamos usar técnicas de completar o quadrado em cada uma das variáveis e analisar os coeficientes resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Vamos começar com o termo de :
Fatorando o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembre-se que para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Agora, vamos para o termo de :
Fatorando o coeficiente de :
Completando o quadrado:

Passo 5

Agora, o termo de :
Fatorando o coeficiente de :
Completando o quadrado:

Passo 6

Agora, vamos substituir todas as partes que completamos de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 7

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Podemos dividir ambos os lados por 12 para simplificar:
Simplificando as frações:

Passo 8

Observando a forma final da equação:
Esta é a forma reduzida da equação original. Agora, vamos identificar o tipo de superfície quádrupla que ela representa.

Resposta

A equação reduzida é:
Essa forma corresponde a um ** hiperbolóide de duas folhas**, uma vez que possui duas variáveis com sinais positivos e uma com sinal negativo.

Exercícios relacionados

Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial ( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de , mas não é uma base;
IIII é uma base para .
IV) conjunto formado pelos vetores que podem ser escritos como combinação dos elementos de tem dimensão 2 e dessa forma .
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
Sejam e o conjunto . Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto que seja uma base para . Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.
Responda ou , justificando:
(a) espaço vetorial nulo tem dimensão zero.