Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
-4 x^2+4 y^2-3 z^2+8 x+8 y-12 z-24=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação quadrática em três variáveis: , e . Nosso objetivo aqui é reduzir essa equação e identificar qual tipo de superfície quádrupla ela representa. Para isso, vamos usar técnicas de completar o quadrado em cada uma das variáveis e analisar os coeficientes resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
-4x^2 + 4y^2 - 3z^2 + 8x + 8y - 12z - 24 = 0
Nosso objetivo é completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Vamos começar com o termo de -4x^2 + 8x :
-4(x^2 - 2x)
Fatorando o coeficiente de -4[(x^2 - 2x + 1) - 1] = -4(x - 1)^2 + 4 :
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembre-se que para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Agora, vamos para o termo de 4y^2 + 8y :
4(y^2 + 2y)
Fatorando o coeficiente de 4[(y^2 + 2y + 1) - 1] = 4(y + 1)^2 - 4 :
Completando o quadrado:

Passo 5

Agora, o termo de -3z^2 - 12z :
-3(z^2 + 4z)
Fatorando o coeficiente de -3[(z^2 + 4z + 4) - 4] = -3(z + 2)^2 + 12 :
Completando o quadrado:

Passo 6

Agora, vamos substituir todas as partes que completamos de volta na equação original:
-4(x - 1)^2 + 4 + 4(y + 1)^2 - 4 - 3(z + 2)^2 + 12 - 24 = 0
Simplificando os termos constantes:
-4(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 - 3(z + 2)^2 + (4 - 4 + 12 - 24) = 0
-4(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 - 3(z + 2)^2 - 12 = 0

Passo 7

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
-4(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 - 3(z + 2)^2 = 12
Podemos dividir ambos os lados por 12 para simplificar:
-4(x - 1)^2 12 + 4(y + 1)^212 + -3(z + 2)^2 12 = 1
Simplificando as frações:
-(x - 1)^2 3 + (y + 1)^23 + -(z + 2)^2 4 = 1

Passo 8

Observando a forma final da equação:
(y + 1)^23 - (x - 1)^23 - (z + 2)^24 = 1
Esta é a forma reduzida da equação original. Agora, vamos identificar o tipo de superfície quádrupla que ela representa.

Resposta

A equação reduzida é:
(y + 1)^23 - (x - 1)^23 - (z + 2)^24 = 1
Essa forma corresponde a um ** hiperbolóide de duas folhas**, uma vez que possui duas variáveis com sinais positivos e uma com sinal negativo.

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