Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação quadrática em três variáveis:
,
e
. Nosso objetivo aqui é reduzir essa equação e identificar qual tipo de superfície quádrupla ela representa. Para isso, vamos usar técnicas de completar o quadrado em cada uma das variáveis e analisar os coeficientes resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com o termo de
:
Fatorando o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembre-se que para completar o quadrado de
, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Agora, vamos para o termo de
:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado:
Passo 5
Agora, o termo de
:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado:
Passo 6
Agora, vamos substituir todas as partes que completamos de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Podemos dividir ambos os lados por 12 para simplificar:
Simplificando as frações:
Passo 8
Observando a forma final da equação:
Esta é a forma reduzida da equação original. Agora, vamos identificar o tipo de superfície quádrupla que ela representa.
Resposta
A equação reduzida é:
Essa forma corresponde a um ** hiperbolóide de duas folhas**, uma vez que possui duas variáveis com sinais positivos e uma com sinal negativo.
Exercícios relacionados
Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial
( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de
, mas não é uma base;
IIII é uma base para
.
IV) conjunto
formado pelos vetores
que podem ser escritos como combinação dos elementos de
tem dimensão 2 e dessa forma
.
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
II
IIII
IV)
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
Sejam
e o conjunto
. Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto que seja uma base para
. Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.
Responda
ou
, justificando:
(a) espaço vetorial nulo tem dimensão zero.
(a)