Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação quadrática em três variáveis:
,
e
. Nosso objetivo aqui é reduzir essa equação e identificar qual tipo de superfície quádrupla ela representa. Para isso, vamos usar técnicas de completar o quadrado em cada uma das variáveis e analisar os coeficientes resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com o termo de
:
Fatorando o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembre-se que para completar o quadrado de
, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Agora, vamos para o termo de
:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado:
Passo 5
Agora, o termo de
:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado:
Passo 6
Agora, vamos substituir todas as partes que completamos de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Podemos dividir ambos os lados por 12 para simplificar:
Simplificando as frações:
Passo 8
Observando a forma final da equação:
Esta é a forma reduzida da equação original. Agora, vamos identificar o tipo de superfície quádrupla que ela representa.
Resposta
A equação reduzida é:
Essa forma corresponde a um ** hiperbolóide de duas folhas**, uma vez que possui duas variáveis com sinais positivos e uma com sinal negativo.