Sejam V=P3 e o conjunto A=2 x, 1+x, 1+3 x, 1+x^3. Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto S que seja uma base para P3. Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o espaço V = P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto A é composto por quatro vetores: 2x, 1+x, 1+3x, 1+x^3.
A tarefa é:
  1. Remover os vetores necessários de A para que ele fique linearmente independente.
  2. Adicionar vetores a esse conjunto independente para formar um novo conjunto S que seja uma base para P3.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. No caso de P3, precisamos de 4 vetores, já que a dimensão de P3 é 4.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto A é linearmente independente. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
a(2x) + b(1+x) + c(1+3x) + d(1+x^3) = 0
Isso resulta no polinômio:
(2a + b + 3c) x + (b + c + d) + d x^3 = 0
Para que esse polinômio seja o zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero:
  1. Coeficiente de x^3: d = 0
  2. Coeficiente de x: 2a + b + 3c = 0
  3. Termo constante: b + c + d = 0
Substituindo d = 0 na terceira equação:
b + c = 0 Rightarrow b = -c
Substituindo b = -c na segunda equação:
2a - c + 3c = 0 Rightarrow 2a + 2c = 0 Rightarrow a = -c
Então, temos:
a = -c b = -c d = 0
Isso significa que existe uma solução não trivial (com c neq 0), o que mostra que os vetores de A são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, precisamos remover vetores de A para torná-lo linearmente independente. Para simplificar, vamos tentar remover um vetor e verificar se o conjunto resultante é independente.
Vamos tentar remover 1 + 3x:
O novo conjunto seria A' = 2x, 1+x, 1+x^3. Vamos verificar a independência:
Consideramos a combinação linear igual a zero:
a(2x) + b(1+x) + c(1+x^3) = 0
Isso dá:
(2a + b) x + (b + c) + c x^3 = 0
Igualando os coeficientes a zero:
  1. Coeficiente de x^3: c = 0
  2. Coeficiente de x: 2a + b = 0
  3. Termo constante: b + c = 0
Com c = 0, temos:
2a + b = 0 b = 0
Então, a = 0 e b = 0. A única solução é trivial, o que significa que A' é linearmente independente.

Passo 4

Agora que temos um conjunto linearmente independente A' = 2x, 1+x, 1+x^3, precisamos completar esse conjunto para formar uma base para P3. Como P3 tem dimensão 4, precisamos de mais um vetor.
Observando que nosso conjunto atual não possui o termo x^2, podemos adicionar o vetor x^2.
Assim, o conjunto S será:
S = 2x, 1+x, 1+x^3, x^2

Resposta

O conjunto S que é uma base para P3 é:
S = ,2x,; 1 + x,; 1 + x^3,; x^2,

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