Sejam
e o conjunto
. Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto
que seja uma base para
. Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto
é composto por quatro vetores:
.
A tarefa é:
- Remover os vetores necessários de
para que ele fique linearmente independente. - Adicionar vetores a esse conjunto independente para formar um novo conjunto
que seja uma base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. No caso de
, precisamos de 4 vetores, já que a dimensão de
é 4.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
é linearmente independente. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no polinômio:
Para que esse polinômio seja o zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Substituindo
na terceira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então, temos:
Isso significa que existe uma solução não trivial (com
), o que mostra que os vetores de
são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, precisamos remover vetores de
para torná-lo linearmente independente. Para simplificar, vamos tentar remover um vetor e verificar se o conjunto resultante é independente.
Vamos tentar remover
:
O novo conjunto seria
. Vamos verificar a independência:
Consideramos a combinação linear igual a zero:
Isso dá:
Igualando os coeficientes a zero:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Com
, temos:
Então,
e
. A única solução é trivial, o que significa que
é linearmente independente.
Passo 4
Agora que temos um conjunto linearmente independente
, precisamos completar esse conjunto para formar uma base para
. Como
tem dimensão 4, precisamos de mais um vetor.
Observando que nosso conjunto atual não possui o termo
, podemos adicionar o vetor
.
Assim, o conjunto
será:
Resposta
O conjunto
que é uma base para
é:
Exercícios relacionados
Sejam
e o conjunto
. Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente
. Caso não, justifique!
a) Se
Encontre as equações paramétricas da curva definida pela intersecção do parabolóide,
com o plano
.
Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial
( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de
, mas não é uma base;
IIII é uma base para
.
IV) conjunto
formado pelos vetores
que podem ser escritos como combinação dos elementos de
tem dimensão 2 e dessa forma
.
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
II
IIII
IV)
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;