Sejam e o conjunto . Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto que seja uma base para . Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto é composto por quatro vetores: .
A tarefa é:
  1. Remover os vetores necessários de para que ele fique linearmente independente.
  2. Adicionar vetores a esse conjunto independente para formar um novo conjunto que seja uma base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. No caso de , precisamos de 4 vetores, já que a dimensão de é 4.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto é linearmente independente. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no polinômio:
Para que esse polinômio seja o zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos:
Isso significa que existe uma solução não trivial (com ), o que mostra que os vetores de são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, precisamos remover vetores de para torná-lo linearmente independente. Para simplificar, vamos tentar remover um vetor e verificar se o conjunto resultante é independente.
Vamos tentar remover :
O novo conjunto seria . Vamos verificar a independência:
Consideramos a combinação linear igual a zero:
Isso dá:
Igualando os coeficientes a zero:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
Com , temos:
Então, e . A única solução é trivial, o que significa que é linearmente independente.

Passo 4

Agora que temos um conjunto linearmente independente , precisamos completar esse conjunto para formar uma base para . Como tem dimensão 4, precisamos de mais um vetor.
Observando que nosso conjunto atual não possui o termo , podemos adicionar o vetor .
Assim, o conjunto será:

Resposta

O conjunto que é uma base para é:

Exercícios relacionados

Sejam e o conjunto . Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente . Caso não, justifique!
Encontre as equações paramétricas da curva definida pela intersecção do parabolóide, com o plano .
Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial ( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de , mas não é uma base;
IIII é uma base para .
IV) conjunto formado pelos vetores que podem ser escritos como combinação dos elementos de tem dimensão 2 e dessa forma .
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;