Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é reduzir essa equação para uma forma mais simples e descobrir que tipo de superfície ela representa, ou seja, identificar a quádrica.
Para resolver isso, vamos precisar usar o completar o quadrado para cada uma das variáveis , e . Assim, a gente reorganiza a equação para identificar se é uma esfera, paraboloide, elipsoide, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos separar cada termo de acordo com as variáveis:
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis.

Passo 3

Completando o quadrado para :
Temos . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso dá:

Passo 4

Completando o quadrado para :
Temos . Fazemos o mesmo processo:
Adicionamos e subtraímos 9:
Ficando:

Passo 5

Completando o quadrado para :
Temos :
Adicionamos e subtraímos 16:
Que resulta em:

Passo 6

Agora, substituímos as expressões com quadrados completos na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:

Passo 8

Essa é a equação padrão de uma esfera, onde o lado direito é o quadrado do raio. Então, a esfera tem centro em e raio .

Resposta

Após reduzir, a equação é , que representa uma esfera com centro em e raio .

Exercícios relacionados

Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial ( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de , mas não é uma base;
IIII é uma base para .
IV) conjunto formado pelos vetores que podem ser escritos como combinação dos elementos de tem dimensão 2 e dessa forma .
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
Responda ou , justificando:
(a) espaço vetorial nulo tem dimensão zero.
Seja || || uma norma no espaço vetorial . Mostre que
para todos .