Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
x^2+y^2+z^2-4 x+6 y-8 z+22=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é reduzir essa equação para uma forma mais simples e descobrir que tipo de superfície ela representa, ou seja, identificar a quádrica.
Para resolver isso, vamos precisar usar o completar o quadrado para cada uma das variáveis , e . Assim, a gente reorganiza a equação para identificar se é uma esfera, paraboloide, elipsoide, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos separar cada termo de acordo com as variáveis:
x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 - 8z + 22 = 0
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis.

Passo 3

Completando o quadrado para (-42)^2 = 4 :
Temos x^2 - 4x + 4 - 4 . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (x - 2)^2 - 4 , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso dá:

Passo 4

Completando o quadrado para (62)^2 = 9 :
Temos y^2 + 6y + 9 - 9 . Fazemos o mesmo processo:
(y + 3)^2 - 9
Adicionamos e subtraímos 9:
Ficando:

Passo 5

Completando o quadrado para (-82)^2 = 16 :
Temos z^2 - 8z + 16 - 16 :
(z - 4)^2 - 16
Adicionamos e subtraímos 16:
Que resulta em:

Passo 6

Agora, substituímos as expressões com quadrados completos na equação original:
(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + (z - 4)^2 - 16 + 22 = 0
Vamos somar os termos constantes:
-4 - 9 - 16 + 22 = -7
Então, a equação fica:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 4)^2 - 7 = 0

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 4)^2 = 7

Passo 8

Essa é a equação padrão de uma esfera, onde o lado direito é o quadrado do raio. Então, a esfera tem centro em e raio .

Resposta

Após reduzir, a equação é , que representa uma esfera com centro em e raio .

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