Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. O objetivo aqui é reduzir essa equação para uma forma mais simples e descobrir que tipo de superfície ela representa, ou seja, identificar a quádrica.
Para resolver isso, vamos precisar usar o completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
. Assim, a gente reorganiza a equação para identificar se é uma esfera, paraboloide, elipsoide, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos separar cada termo de acordo com as variáveis:
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Temos
. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso dá:
Passo 4
Completando o quadrado para
:
Temos
. Fazemos o mesmo processo:
Adicionamos e subtraímos 9:
Ficando:
Passo 5
Completando o quadrado para
:
Temos
:
Adicionamos e subtraímos 16:
Que resulta em:
Passo 6
Agora, substituímos as expressões com quadrados completos na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 8
Essa é a equação padrão de uma esfera, onde o lado direito é o quadrado do raio. Então, a esfera tem centro em
e raio
.
Resposta
Após reduzir, a equação é
, que representa uma esfera com centro em
e raio
.
Exercícios relacionados
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
;
Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial
( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de
, mas não é uma base;
IIII é uma base para
.
IV) conjunto
formado pelos vetores
que podem ser escritos como combinação dos elementos de
tem dimensão 2 e dessa forma
.
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
II
IIII
IV)
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras
Responda
ou
, justificando:
(a) espaço vetorial nulo tem dimensão zero.
(a)
Seja || || uma norma no espaço vetorial
. Mostre que
para todos
.