Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. O objetivo aqui é reduzir essa equação para uma forma mais simples e descobrir que tipo de superfície ela representa, ou seja, identificar a quádrica.
Para resolver isso, vamos precisar usar o completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
. Assim, a gente reorganiza a equação para identificar se é uma esfera, paraboloide, elipsoide, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos separar cada termo de acordo com as variáveis:
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Temos
. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso dá:
Passo 4
Completando o quadrado para
:
Temos
. Fazemos o mesmo processo:
Adicionamos e subtraímos 9:
Ficando:
Passo 5
Completando o quadrado para
:
Temos
:
Adicionamos e subtraímos 16:
Que resulta em:
Passo 6
Agora, substituímos as expressões com quadrados completos na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 8
Essa é a equação padrão de uma esfera, onde o lado direito é o quadrado do raio. Então, a esfera tem centro em
e raio
.
Resposta
Após reduzir, a equação é
, que representa uma esfera com centro em
e raio
.