Sejam V=P3 e o conjunto A=2 x, 1+x, 1+3 x, 1+x^3. Determine:
a) Se p(x)=2 x^3+5 x+1 pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente [p(x)]A. Caso não, justifique!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial V = P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto A = 2x, 1+x, 1+3x, 1+x^3 é dado, e queremos saber se o polinômio p(x) = 2x^3 + 5x + 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A. Se sim, precisamos encontrar as coordenadas de p(x) em relação a A, ou seja, [p(x)]A. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar p(x) como uma combinação linear dos elementos de A. Isso significa que existem escalares a, b, c e d tais que:
p(x) = a cdot 2x + b cdot (1 + x) + c cdot (1 + 3x) + d cdot (1 + x^3)
Aqui, a, b, c e d são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão acima para agrupar os termos semelhantes:
p(x) &= a cdot 2x + b cdot 1 + b cdot x + c cdot 1 + c cdot 3x + d cdot 1 + d cdot x^3 &= d cdot x^3 + (2a + b + 3c) cdot x + (b + c + d)
Queremos que isso seja igual a p(x) = 2x^3 + 5x + 1. Então, igualamos os coeficientes correspondentes de cada termo:
d = 2 2a + b + 3c = 5 b + c + d = 1

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  1. Primeira Equação: d = 2
  2. Terceira Equação: b + c + d = 1
    Substituindo d = 2:
    b + c + 2 = 1
    Então, b + c = -1
    Dessa, podemos expressar b em função de c:
    b = -1 - c
  3. Segunda Equação: 2a + b + 3c = 5
    Substituindo b = -1 - c:
    2a + (-1 - c) + 3c = 5
    Simplificando:
    2a + 2c - 1 = 5
    2a + 2c = 6
    Dividindo por 2:
    a + c = 3
    Então, a = 3 - c
Agora, temos:
  • a = 3 - c
  • b = -1 - c
  • d = 2
Isso significa que para qualquer valor de c, podemos encontrar valores correspondentes de a e b que satisfazem o sistema.

Passo 5

Como o sistema possui infinitas soluções (depende do valor de c escolhido), isso indica que o conjunto A é linearmente dependente. No entanto, o polinômio p(x) = 2x^3 + 5x + 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A.
Escolhendo, por exemplo, c = 0, encontramos:
  • a = 3
  • b = -1
  • d = 2
Portanto, uma possível representação é:
p(x) = 3 cdot 2x + (-1) cdot (1 + x) + 0 cdot (1 + 3x) + 2 cdot (1 + x^3)
Assim, as coordenadas de p(x) em relação a A são:
[p(x)]A = 3 -1 0 2

Resposta

Sim, o polinômio p(x) = 2x^3 + 5x + 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A. Uma possível representação das coordenadas de p(x) em relação a A é:
[p(x)]A = 3 -1 0 2

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