Sejam e o conjunto . Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente . Caso não, justifique!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto é dado, e queremos saber se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Se sim, precisamos encontrar as coordenadas de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar como uma combinação linear dos elementos de . Isso significa que existem escalares , , e tais que:
Aqui, , , e são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão acima para agrupar os termos semelhantes:
Queremos que isso seja igual a . Então, igualamos os coeficientes correspondentes de cada termo:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  1. Primeira Equação:
  2. Terceira Equação:
    Substituindo :

    Então,
    Dessa, podemos expressar em função de :
  3. Segunda Equação:
    Substituindo :

    Simplificando:


    Dividindo por 2:

    Então,
Agora, temos:
Isso significa que para qualquer valor de , podemos encontrar valores correspondentes de e que satisfazem o sistema.

Passo 5

Como o sistema possui infinitas soluções (depende do valor de escolhido), isso indica que o conjunto é linearmente dependente. No entanto, o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de .
Escolhendo, por exemplo, , encontramos:
Portanto, uma possível representação é:
Assim, as coordenadas de em relação a são:

Resposta

Sim, o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Uma possível representação das coordenadas de em relação a é:

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Sejam e o conjunto . Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto que seja uma base para . Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.
Analise as afirmações a seguir relacionadas ao espaço vetorial ( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2),
é um conjunto gerador de
II é um conjunto gerador de , mas não é uma base;
IIII é uma base para .
IV) conjunto formado pelos vetores que podem ser escritos como combinação dos elementos de tem dimensão 2 e dessa forma .
Em relação a estas afirmações, podemos afirmar que :
I) Apenas a afirmação III é verdadeira.
II) Todas as afirmações são verdadeiras
III) Todas as afirmações são falsas
IV) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
V) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras