Sejam e o conjunto . Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente . Caso não, justifique!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto é dado, e queremos saber se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Se sim, precisamos encontrar as coordenadas de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar como uma combinação linear dos elementos de . Isso significa que existem escalares , , e tais que:
Aqui, , , e são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão acima para agrupar os termos semelhantes:
Queremos que isso seja igual a . Então, igualamos os coeficientes correspondentes de cada termo:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Primeira Equação:d = 2
Terceira Equação:b + c + d = 1
Substituindo d = 2: b + c + 2 = 1
Então, b + c = -1
Dessa, podemos expressar b em função de c: b = -1 - c
Segunda Equação:2a + b + 3c = 5
Substituindo b = -1 - c: 2a + (-1 - c) + 3c = 5
Simplificando: 2a + 2c - 1 = 5 2a + 2c = 6
Dividindo por 2: a + c = 3
Então, a = 3 - c
Agora, temos:
a = 3 - c
b = -1 - c
d = 2
Isso significa que para qualquer valor de c, podemos encontrar valores correspondentes de a e b que satisfazem o sistema.
Passo 5
Como o sistema possui infinitas soluções (depende do valor de c escolhido), isso indica que o conjunto A é linearmente dependente. No entanto, o polinômio p(x) = 2x^3 + 5x + 1pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A.
Sim, o polinômio p(x) = 2x^3 + 5x + 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de A. Uma possível representação das coordenadas de p(x) em relação a A é: