Sejam e o conjunto . Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente . Caso não, justifique!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto é dado, e queremos saber se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Se sim, precisamos encontrar as coordenadas de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar como uma combinação linear dos elementos de . Isso significa que existem escalares , , e tais que:
Aqui, , , e são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão acima para agrupar os termos semelhantes:
Queremos que isso seja igual a . Então, igualamos os coeficientes correspondentes de cada termo:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Primeira Equação:
Terceira Equação:
Substituindo :
Então,
Dessa, podemos expressar em função de :
Segunda Equação:
Substituindo :
Simplificando:
Dividindo por 2:
Então,
Agora, temos:
Isso significa que para qualquer valor de , podemos encontrar valores correspondentes de e que satisfazem o sistema.
Passo 5
Como o sistema possui infinitas soluções (depende do valor de escolhido), isso indica que o conjunto é linearmente dependente. No entanto, o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de .
Escolhendo, por exemplo, , encontramos:
Portanto, uma possível representação é:
Assim, as coordenadas de em relação a são:
Resposta
Sim, o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de . Uma possível representação das coordenadas de em relação a é: