Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja T uma transformação linear. Se N(T)=0, então T é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e quer saber se a afirmação “Se , então é injetora” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre núcleo (ou espaço nulo) e transformações injetoras. Vamos precisar entender o que significa uma transformação linear ser injetora e o que é o núcleo de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função T(u + v) = T(u) + T(v) que mapeia vetores de um espaço vetorial T(c cdot u) = c cdot T(u) para outro espaço vetorial de forma que respeita duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , temos:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear, denotado por N(T) = v in V | T(v) = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em tal que . Ou seja:
Se , isso significa que o único vetor que mapeia para o vetor nulo em é o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação T(u) = T(v) implies u = v é injetora se vetores diferentes em são mapeados para vetores diferentes em . Formalmente, é injetora se:

Passo 5

Vamos conectar o núcleo com a injetividade. Se T é injetora iff N(T) = 0 , isso significa que a única solução para é . Isso garante que não há dois vetores diferentes em que são mapeados para o mesmo vetor em , ou seja, é injetora. Esse resultado é estabelecido pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que:
é

Resposta

Verdadeiro. Se , então é injetora, conforme o Teorema do Núcleo e da Imagem.

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