Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja
uma transformação linear. Se
, então
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e quer saber se a afirmação “Se
, então
é injetora” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre núcleo (ou espaço nulo) e transformações injetoras. Vamos precisar entender o que significa uma transformação linear ser injetora e o que é o núcleo de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função
que mapeia vetores de um espaço vetorial
para outro espaço vetorial
de forma que respeita duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, temos:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear, denotado por
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
tal que
. Ou seja:
Se
, isso significa que o único vetor que mapeia para o vetor nulo em
é o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação
é injetora se vetores diferentes em
são mapeados para vetores diferentes em
. Formalmente,
é injetora se:
Passo 5
Vamos conectar o núcleo com a injetividade. Se
, isso significa que a única solução para
é
. Isso garante que não há dois vetores diferentes em
que são mapeados para o mesmo vetor em
, ou seja,
é injetora. Esse resultado é estabelecido pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que:
Resposta
Verdadeiro. Se
, então
é injetora, conforme o Teorema do Núcleo e da Imagem.
Exercícios relacionados
Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
.
é injetora?
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(paraboloide elíptico)
Assinale o(s) ponto(s) que pertencem ao conjunto-solução da equação linear
-
Escolha uma ou mais: