Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores formam uma base do . é injetora?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que:
  • Dobra o comprimento do vetor .
  • Triplica o comprimento do vetor .
    Além disso, essa transformação não altera as direções nem inverte os sentidos dos vetores. Sabemos que os vetores e formam uma base para . Nosso objetivo é determinar se é injetora.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, bases de vetores, matrizes de transformação e injeção em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação linear é injetora se diferentes vetores de são mapeados para diferentes vetores em . Em outras palavras, se implica que .
Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Outra forma de verificar a injetividade é analisar a matriz associada à transformação; se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então a transformação é injetora.

Passo 3

Vamos determinar a matriz que representa a transformação na base formada pelos vetores e .
Sabemos que:
Como e formam uma base, podemos representar qualquer vetor em como combinação linear desses vetores.
A matriz de na base será uma matriz diagonal, já que a transformação apenas escala cada vetor da base sem alterar suas direções ou misturá-los. Assim,

Passo 4

Agora, para verificar se é injetora, calculamos o determinante da matriz :
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso implica que a matriz é invertível.

Passo 5

Como a matriz é invertível, a transformação linear é injetora. Isso ocorre porque uma matriz invertível garante que não há vetores diferentes que são mapeados para o mesmo vetor, satisfazendo assim a definição de injetividade.

Resposta

Sim, a transformação é injetora.

Exercícios relacionados

Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (paraboloide elíptico)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (cilindro circular)
Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja uma transformação linear. Se , então é injetora.
Usando indução, prove: .