Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u=(3,1) e triplica o comprimento do vetor v=(1,3), sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores (3,1),(1,3) formam uma base do R^2. T é injetora?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que:
  • Dobra o comprimento do vetor .
  • Triplica o comprimento do vetor .
    Além disso, essa transformação não altera as direções nem inverte os sentidos dos vetores. Sabemos que os vetores e formam uma base para . Nosso objetivo é determinar se é injetora.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, bases de vetores, matrizes de transformação e injeção em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação linear é injetora se diferentes vetores de são mapeados para diferentes vetores em . Em outras palavras, se implica que .
Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Outra forma de verificar a injetividade é analisar a matriz associada à transformação; se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então a transformação é injetora.

Passo 3

Vamos determinar a matriz que representa a transformação A = 2 & 0 0 & 3 na base formada pelos vetores e .
Sabemos que:
Como e formam uma base, podemos representar qualquer vetor em como combinação linear desses vetores.
A matriz de na base será uma matriz diagonal, já que a transformação apenas escala cada vetor da base sem alterar suas direções ou misturá-los. Assim,

Passo 4

Agora, para verificar se det(A) = (2)(3) - (0)(0) = 6 é injetora, calculamos o determinante da matriz :
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso implica que a matriz é invertível.

Passo 5

Como a matriz é invertível, a transformação linear é injetora. Isso ocorre porque uma matriz invertível garante que não há vetores diferentes que são mapeados para o mesmo vetor, satisfazendo assim a definição de injetividade.

Resposta

Sim, a transformação é injetora.

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