Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
.
é injetora?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que:
- Dobra o comprimento do vetor
. - Triplica o comprimento do vetor
.
Além disso, essa transformação não altera as direções nem inverte os sentidos dos vetores. Sabemos que os vetorese formam uma base para . Nosso objetivo é determinar se é injetora.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, bases de vetores, matrizes de transformação e injeção em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação linear
é injetora se diferentes vetores de
são mapeados para diferentes vetores em
. Em outras palavras, se
implica que
.
Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero. Outra forma de verificar a injetividade é analisar a matriz associada à transformação; se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então a transformação é injetora.
Passo 3
Vamos determinar a matriz que representa a transformação
na base formada pelos vetores
e
.
Sabemos que:
Como
e
formam uma base, podemos representar qualquer vetor em
como combinação linear desses vetores.
A matriz de
na base
será uma matriz diagonal, já que a transformação apenas escala cada vetor da base sem alterar suas direções ou misturá-los. Assim,
Passo 4
Agora, para verificar se
é injetora, calculamos o determinante da matriz
:
Como o determinante é diferente de zero (
), isso implica que a matriz
é invertível.
Passo 5
Como a matriz
é invertível, a transformação linear
é injetora. Isso ocorre porque uma matriz invertível garante que não há vetores diferentes que são mapeados para o mesmo vetor, satisfazendo assim a definição de injetividade.
Resposta
Sim, a transformação
é injetora.
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Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja
uma transformação linear. Se
, então
é injetora.