Usando indução, prove: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que a soma dos termos de até é pelo menos . Estamos trabalhando com a teoria de Progressão Harmônica e o Princípio da Indução Matemática. Vamos precisar verificar o caso base e, depois, assumir que funciona para um valor qualquer de para então provar que também funciona para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base. Geralmente, o menor valor para é 1.
Para :
E , então a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo , ou seja:
Esse é o nosso passo de indução, onde assumimos que a soma até é pelo menos .

Passo 4

Precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para . Ou seja, mostrar que:
Vamos analisar essa nova soma.

Passo 5

Observe que a soma para tem os termos de até . Podemos reescrever a soma da seguinte forma:
Pela hipótese de indução, sabemos que a parte em parênteses é pelo menos .

Passo 6

Agora, vamos considerar os dois últimos termos:
Cada um desses termos é positivo e, portanto, adicioná-los à soma anterior só aumenta o valor total. Isso significa que:

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo inteiro positivo , a soma é maior ou igual a .

Exercícios relacionados

Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja uma transformação linear. Se , então é injetora.
Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores formam uma base do . é injetora?
Assinale o(s) ponto(s) que pertencem ao conjunto-solução da equação linear

  • Escolha uma ou mais:



Considere os pontos .
Determine uma equação geral do plano que contem os pontos .