[C, 23] Usando indução, prove: 1n+1n+1+cdots+12 n >= 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que a soma dos termos de 1n até 12n é pelo menos 12. Estamos trabalhando com a teoria de Progressão Harmônica e o Princípio da Indução Matemática. Vamos precisar verificar o caso base e, depois, assumir que funciona para um valor qualquer de n para então provar que também funciona para n+1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base. Geralmente, o menor valor para n é 1.
Para n = 1:
11 + 12 = 1 + 12 = 32
E 32 >= 12, então a afirmação é verdadeira para n=1.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo k, ou seja:
1k + 1k+1 + cdots + 12k >= 12
Esse é o nosso passo de indução, onde assumimos que a soma até 2k é pelo menos 12.

Passo 4

Precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para k+1. Ou seja, mostrar que:
1k+1 + 1k+2 + cdots + 12(k+1) >= 12
Vamos analisar essa nova soma.

Passo 5

Observe que a soma para k+1 tem os termos de k+1 até 2k+2. Podemos reescrever a soma da seguinte forma:
( 1k+1 + cdots + 12k ) + 12k+1 + 12k+2
Pela hipótese de indução, sabemos que a parte em parênteses é pelo menos 12.

Passo 6

Agora, vamos considerar os dois últimos termos:
12k+1 + 12k+2
Cada um desses termos é positivo e, portanto, adicioná-los à soma anterior só aumenta o valor total. Isso significa que:
( 1k+1 + cdots + 12k ) + 12k+1 + 12k+2 >= 12

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo inteiro positivo n, a soma 1n + 1n+1 + cdots + 12n é maior ou igual a 12.

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