Usando indução, prove:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que a soma dos termos de
até
é pelo menos
. Estamos trabalhando com a teoria de Progressão Harmônica e o Princípio da Indução Matemática. Vamos precisar verificar o caso base e, depois, assumir que funciona para um valor qualquer de
para então provar que também funciona para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base. Geralmente, o menor valor para
é 1.
Para
:
E
, então a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo
, ou seja:
Esse é o nosso passo de indução, onde assumimos que a soma até
é pelo menos
.
Passo 4
Precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para
. Ou seja, mostrar que:
Vamos analisar essa nova soma.
Passo 5
Observe que a soma para
tem os termos de
até
. Podemos reescrever a soma da seguinte forma:
Pela hipótese de indução, sabemos que a parte em parênteses é pelo menos
.
Passo 6
Agora, vamos considerar os dois últimos termos:
Cada um desses termos é positivo e, portanto, adicioná-los à soma anterior só aumenta o valor total. Isso significa que:
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo inteiro positivo
, a soma
é maior ou igual a
.