Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): 36 y=4 x^2+9 z^2 (paraboloide elíptico)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação quadrática: . Nosso objetivo é reduzir essa equação à forma canônica, que é uma forma mais simples e padronizada, e depois identificar e desenhar o gráfico da quadric que ela representa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quadricas e formas canônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma canônica. Na matemática, a forma canônica de uma equação é aquela que está simplificada ao máximo, facilitando a identificação das características principais da figura geométrica que ela representa. No caso das quadricas, isso ajuda a identificar se estamos lidando com uma elipse, hipérbole, paraboloide, entre outros.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para isolarmos a variável 36 y = 4 x^2 + 9 z^2 . A equação dada é:
y = 436 x^2 + 936 z^2
Dividimos ambos os lados por 36 para isolar y = 19 x^2 + 14 z^2 :
Simplificando as frações:

Passo 4

Agora, a equação está na forma:
y = 19 x^2 + 14 z^2
Essa é a forma canônica da equação dada. Nela, conseguimos ver claramente que está expresso em função de e , com coeficientes positivos.

Passo 5

Vamos identificar que tipo de quadric é essa. A equação:
y = 19 x^2 + 14 z^2
é a equação de um paraboloide elíptico. Isso ocorre porque temos igual a uma soma de termos quadráticos em e , ambos com coeficientes positivos. O paraboloide elíptico se caracteriza por ter seções transversais elípticas quando cortado por planos paralelos ao eixo .

Passo 6

Para construir o gráfico dessa quadric, você pode usar o GeoGebra ou qualquer outro aplicativo de geometria 3D. No GeoGebra, siga estes passos:
  1. Abra o GeoGebra e selecione a visualização em 3D.
  2. Insira a equação canônica no campo de entrada: y = 19 x^2 + 14 z^2
  3. O GeoGebra vai gerar automaticamente o gráfico do paraboloide elíptico, permitindo que você visualize a forma tridimensional dessa superfície.

Resposta

Reduzindo a equação y = 19 x^2 + 14 z^2 à forma canônica, obtemos:
Essa é a equação de um paraboloide elíptico.

Exercícios relacionados