Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(paraboloide elíptico)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação quadrática:
. Nosso objetivo é reduzir essa equação à forma canônica, que é uma forma mais simples e padronizada, e depois identificar e desenhar o gráfico da quadric que ela representa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quadricas e formas canônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma canônica. Na matemática, a forma canônica de uma equação é aquela que está simplificada ao máximo, facilitando a identificação das características principais da figura geométrica que ela representa. No caso das quadricas, isso ajuda a identificar se estamos lidando com uma elipse, hipérbole, paraboloide, entre outros.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para isolarmos a variável
. A equação dada é:
Dividimos ambos os lados por 36 para isolar
:
Simplificando as frações:
Passo 4
Agora, a equação está na forma:
Essa é a forma canônica da equação dada. Nela, conseguimos ver claramente que
está expresso em função de
e
, com coeficientes positivos.
Passo 5
Vamos identificar que tipo de quadric é essa. A equação:
é a equação de um paraboloide elíptico. Isso ocorre porque temos
igual a uma soma de termos quadráticos em
e
, ambos com coeficientes positivos. O paraboloide elíptico se caracteriza por ter seções transversais elípticas quando cortado por planos paralelos ao eixo
.
Passo 6
Para construir o gráfico dessa quadric, você pode usar o GeoGebra ou qualquer outro aplicativo de geometria 3D. No GeoGebra, siga estes passos:
- Abra o GeoGebra e selecione a visualização em 3D.
- Insira a equação canônica no campo de entrada:
- O GeoGebra vai gerar automaticamente o gráfico do paraboloide elíptico, permitindo que você visualize a forma tridimensional dessa superfície.
Resposta
Reduzindo a equação
à forma canônica, obtemos:
Essa é a equação de um paraboloide elíptico.
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Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(cilindro circular)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(cilindro parabólico)
Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
.
é injetora?
Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja
uma transformação linear. Se
, então
é injetora.