Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja
uma transformação. Se
, então
é injetora.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Seja
uma transformação. Se
, então
é injetora.” Estamos lidando com o conceito de transformações e a propriedade de injetividade na Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser injetora e como a condição
se relaciona com essa propriedade.
Passo 2
Primeiramente, injetividade é uma propriedade de funções (ou transformações) onde elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Formalmente, uma transformação
é injetora se, sempre que
, então
.
A condição
simplesmente afirma que o vetor zero do espaço de origem é mapeado para o vetor zero do espaço de destino. No entanto, esta condição por si só não garante que a transformação seja injetora.
Passo 3
Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um exemplo.
Exemplo: Considere a transformação linear
definida por:
Aqui,
, atendendo à condição dada. No entanto, observe que:
Apesar de
, temos
, o que mostra que
não é injetora, já que diferentes vetores estão sendo mapeados para o mesmo vetor no contradomínio.
Resposta
Falsa. A condição
não garante que a transformação
seja injetora, como demonstrado no exemplo onde
mesmo sendo vetores distintos.