Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja uma transformação. Se , então é injetora.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Seja uma transformação. Se , então é injetora.” Estamos lidando com o conceito de transformações e a propriedade de injetividade na Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser injetora e como a condição se relaciona com essa propriedade.
Passo 2
Primeiramente, injetividade é uma propriedade de funções (ou transformações) onde elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Formalmente, uma transformação é injetora se, sempre que , então .
A condição simplesmente afirma que o vetor zero do espaço de origem é mapeado para o vetor zero do espaço de destino. No entanto, esta condição por si só não garante que a transformação seja injetora.
Passo 3
Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um exemplo.
Exemplo: Considere a transformação linear definida por:
Aqui, , atendendo à condição dada. No entanto, observe que:
Apesar de , temos , o que mostra que não é injetora, já que diferentes vetores estão sendo mapeados para o mesmo vetor no contradomínio.
Resposta
Falsa. A condição não garante que a transformação seja injetora, como demonstrado no exemplo onde mesmo sendo vetores distintos.