Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja T uma transformação. Se T(0)=0, então T é injetora.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Seja uma transformação. Se , então é injetora.” Estamos lidando com o conceito de transformações e a propriedade de injetividade na Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser injetora e como a condição se relaciona com essa propriedade.

Passo 2

Primeiramente, injetividade é uma propriedade de funções (ou transformações) onde elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Formalmente, uma transformação é injetora se, sempre que , então .
A condição simplesmente afirma que o vetor zero do espaço de origem é mapeado para o vetor zero do espaço de destino. No entanto, esta condição por si só não garante que a transformação seja injetora.

Passo 3

Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um exemplo.
Exemplo: Considere a transformação linear T(x, y) = (x, 0) definida por:
T(1, 0) = (1, 0) e T(1, 5) = (1, 0)
Aqui, , atendendo à condição dada. No entanto, observe que:
Apesar de , temos , o que mostra que não é injetora, já que diferentes vetores estão sendo mapeados para o mesmo vetor no contradomínio.

Resposta

Falsa. A condição não garante que a transformação seja injetora, como demonstrado no exemplo onde mesmo sendo vetores distintos.

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