Considere os pontos .
Determine uma equação geral do plano que contem os pontos .
Passo 1
Beleza, você quer encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos no espaço tridimensional. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores e determinantes, para resolver isso. Vamos precisar entender como formar vetores a partir dos pontos dados e como usar esses vetores para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que temos: , e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois vetores que estão no plano. Podemos formar esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos.
Vamos calcular o vetor e o vetor :
Passo 3
Agora que temos dois vetores no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor no plano e nos ajudará a formar a equação do plano.
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal e um ponto qualquer no plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a forma geral da equação do plano:
onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto.