Considere os pontos A=(2,1,1), B=(0,-1,2), C=(-1,0,-1).
Determine uma equação geral do plano pi que contem os pontos A, B, C.

Passo 1

Beleza, você quer encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos no espaço tridimensional. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores e determinantes, para resolver isso. Vamos precisar entender como formar vetores a partir dos pontos dados e como usar esses vetores para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que temos: AB = B - A = (0 - 2, -1 - 1, 2 - 1) = (-2, -2, 1) , AC = C - A = (-1 - 2, 0 - 1, -1 - 1) = (-3, -1, -2) e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois vetores que estão no plano. Podemos formar esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos.
Vamos calcular o vetor e o vetor :

Passo 3

Agora que temos dois vetores no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor no plano e nos ajudará a formar a equação do plano.
Vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k -2 & -2 & 1 -3 & -1 & -2 :
AB times AC = i((-2)(-2) - (1)(-1)) - j((-2)(-2) - (1)(-3)) + k((-2)(-1) - (-2)(-3))
Calculando o determinante:
= i(4 + 1) - j(4 + 3) + k(2 - 6)
= 5i - 7j - 4k
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto qualquer no plano, por exemplo, o ponto 5(x - 2) - 7(y - 1) - 4(z - 1) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
5x - 10 - 7y + 7 - 4z + 4 = 0
onde 5x - 7y - 4z - (10 - 7 + 4) = 0 são as componentes do vetor normal e 5x - 7y - 4z - (-1) = 0 são as coordenadas do ponto.
Substituindo os valores:
5x - 7y - 4z + 1 = 0
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano 5x - 7y - 4z + 1 = 0 que contém os pontos é:

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