Considere os pontos .
Determine uma equação geral do plano que contem os pontos .
Passo 1
Beleza, você quer encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos no espaço tridimensional. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores e determinantes, para resolver isso. Vamos precisar entender como formar vetores a partir dos pontos dados e como usar esses vetores para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que temos: , e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois vetores que estão no plano. Podemos formar esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos.
Vamos calcular o vetor e o vetor :
Passo 3
Agora que temos dois vetores no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor no plano e nos ajudará a formar a equação do plano.
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
= i(4 + 1) - j(4 + 3) + k(2 - 6)
= 5i - 7j - 4k
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto qualquer no plano, por exemplo, o ponto 5(x - 2) - 7(y - 1) - 4(z - 1) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
5x - 10 - 7y + 7 - 4z + 4 = 0
onde 5x - 7y - 4z - (10 - 7 + 4) = 0 são as componentes do vetor normal e 5x - 7y - 4z - (-1) = 0 são as coordenadas do ponto.
Substituindo os valores:
5x - 7y - 4z + 1 = 0
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano 5x - 7y - 4z + 1 = 0 que contém os pontos é: