Considere os pontos .
Determine uma equação geral do plano que contem os pontos .

Passo 1

Beleza, você quer encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos no espaço tridimensional. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores e determinantes, para resolver isso. Vamos precisar entender como formar vetores a partir dos pontos dados e como usar esses vetores para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que temos: , e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois vetores que estão no plano. Podemos formar esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos.
Vamos calcular o vetor e o vetor :

Passo 3

Agora que temos dois vetores no plano, podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor no plano e nos ajudará a formar a equação do plano.
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal e um ponto qualquer no plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a forma geral da equação do plano:
onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto.
Substituindo os valores:
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano que contém os pontos é:

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Assinale o(s) ponto(s) que pertencem ao conjunto-solução da equação linear

  • Escolha uma ou mais:



Usando indução, prove: .
Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja uma transformação. Se , então é injetora.
Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine as coordenadas do ponto . (Lembrete: em todo paralelogramo, o ponto em que as diagonais se cruzam é o ponto médio de cada uma das diagonais).