Considere o seguinte sistema linear nas variáveis :
Dê uma interpretação geométrica para este sistema linear e para seu conjunto solução.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três variáveis: , e . O conteúdo principal aqui é geometria analítica, especificamente a interpretação geométrica de sistemas lineares. Vamos precisar entender como essas equações representam planos no espaço tridimensional e como eles se relacionam para formar o conjunto solução.
Passo 2
Cada equação do sistema representa um plano no espaço tridimensional . Por exemplo, a equação define um plano onde todos os pontos que satisfazem essa equação estão sobre esse plano. O mesmo vale para as outras duas equações.
Passo 3
O conjunto solução do sistema é o conjunto de todos os pontos que estão simultaneamente nos três planos. Geometricamente, isso significa que estamos procurando onde os três planos se intersectam. Dependendo de como os planos se posicionam no espaço, podem se intersectar em uma única linha, em um único ponto ou não ter interseção comum.
Passo 4
Para interpretar melhor, vamos resolver o sistema para encontrar o conjunto solução. Vamos usar o método de substituição ou eliminação.
Primeiro, da primeira equação:
Podemos isolar :
Passo 5
Agora, substituímos na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
Terceira equação:
Passo 6
Observamos que as duas equações resultantes são iguais:
Isso significa que temos uma equação dependente, ou seja, uma das equações não adiciona nova informação ao sistema. Portanto, temos duas equações efetivas para três variáveis, o que geralmente resulta em uma infinidade de soluções formando uma reta de interseção entre os planos.
Passo 7
Para encontrar a parametrização da reta, vamos expressar duas variáveis em termos de uma terceira parâmetro. Vamos escolher (onde é um parâmetro real).
Substituindo na equação :
Agora, lembrando que :
Resposta
Geometricamente, o sistema representa três planos no espaço tridimensional que se intersectam ao longo de uma única reta. O conjunto solução é essa reta, que pode ser descrita por: