Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine as coordenadas do ponto P. (Lembrete: em todo paralelogramo, o ponto em que as diagonais se cruzam é o ponto médio de cada uma das diagonais).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelogramo ABCD, com alguns pontos e vetores dados. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do ponto P, que é onde as diagonais se cruzam. A matéria que vamos precisar é de geometria analítica, especialmente sobre paralelogramos e pontos médios. Basicamente, vamos usar a propriedade de que, num paralelogramo, as diagonais se cortam no ponto médio de cada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que num paralelogramo, as diagonais se dividem ao meio. Ou seja, o ponto P é o ponto médio tanto da diagonal AC quanto da diagonal BD. Isso significa que, para encontrar as coordenadas de P, podemos calcular o ponto médio de qualquer uma das diagonais.
Passo 3
Vamos focar na diagonal AC para encontrar o ponto P. Sabemos as coordenadas dos pontos A e C:
A = (-2, 0, 1) e C = (4, -6, 1)
Para encontrar o ponto médio, usamos a fórmula do ponto médio entre dois pontos no espaço:
P = ( xA + xC2, yA + yC2, zA + zC2 )
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com as coordenadas de A e C: