Considere o paralelogramo A B C D, o ponto P em que as diagonais A C e B D se cruzam, e os pontos M e N que dividem A C em 3 partes iguais, com M entre os pontos A e N.
Para os itens a seguir, assuma que: A=(-2,0,1), C=(4,-6,1) e B D=(2,-4,2).
Determine as coordenadas do ponto P. (Lembrete: em todo paralelogramo, o ponto em que as diagonais se cruzam é o ponto médio de cada uma das diagonais).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelogramo ABCD, com alguns pontos e vetores dados. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do ponto P, que é onde as diagonais se cruzam. A matéria que vamos precisar é de geometria analítica, especialmente sobre paralelogramos e pontos médios. Basicamente, vamos usar a propriedade de que, num paralelogramo, as diagonais se cortam no ponto médio de cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que num paralelogramo, as diagonais se dividem ao meio. Ou seja, o ponto P é o ponto médio tanto da diagonal AC quanto da diagonal BD. Isso significa que, para encontrar as coordenadas de P, podemos calcular o ponto médio de qualquer uma das diagonais.

Passo 3

Vamos focar na diagonal AC para encontrar o ponto P. Sabemos as coordenadas dos pontos A e C:
A = (-2, 0, 1) e C = (4, -6, 1)
Para encontrar o ponto médio, usamos a fórmula do ponto médio entre dois pontos no espaço:
P = ( xA + xC2, yA + yC2, zA + zC2 )

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com as coordenadas de A e C:
Px = -2 + 42 = 22 = 1
Py = 0 + (-6)2 = -62 = -3
Pz = 1 + 12 = 22 = 1

Resposta

As coordenadas do ponto P são (1, -3, 1).

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