Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja T uma transformação. Se T(0)=0, então T é linear.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma afirmação sobre transformações lineares e precisamos dizer se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). Além disso, temos que justificar nossa resposta. O conteúdo aqui envolve transformações lineares em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e verificar se a condição é suficiente para garantir que seja linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais e é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer vetores em , .
  2. Homogeneidade: Para qualquer escalar e vetor em , .
Essas duas condições garantem que a transformação preserve a estrutura linear dos espaços vetoriais.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: "Se , então é linear."
Sabemos que é uma condição necessária para que seja linear, mas será que é suficiente? Ou seja, só porque a transformação envia o vetor zero para o vetor zero, ela já é linear?
Na verdade, não. Essa condição por si só não garante que a transformação seja linear. Para ser linear, também precisa satisfazer a aditividade e a homogeneidade que mencionamos antes. Só verificar que envia o zero para o zero não é suficiente para assegurar essas propriedades.

Passo 4

Vamos dar um exemplo para esclarecer. Imagine uma transformação T(x) = x, & se x está no eixo x, 0, & caso contrário definida por:
áá
Nessa transformação, , mas ela não é linear. Por quê? Porque ela não preserva a aditividade. Por exemplo, se pegarmos dois vetores que não estão no eixo , a soma deles pode estar ou não no eixo , e a transformação não vai respeitar a soma dos resultados de aplicados individualmente.

Resposta

Falsa (F). A condição não é suficiente para garantir que seja uma transformação linear. Embora seja uma condição necessária, para que seja linear, ela também precisa satisfazer a aditividade e a homogeneidade.

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