Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja
uma transformação. Se
, então
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma afirmação sobre transformações lineares e precisamos dizer se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). Além disso, temos que justificar nossa resposta. O conteúdo aqui envolve transformações lineares em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e verificar se a condição
é suficiente para garantir que
seja linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais
e
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade: Para quaisquer vetores
em , . - Homogeneidade: Para qualquer escalar
e vetor em , .
Essas duas condições garantem que a transformação preserve a estrutura linear dos espaços vetoriais.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: "Se
, então
é linear."
Sabemos que
é uma condição necessária para que
seja linear, mas será que é suficiente? Ou seja, só porque a transformação envia o vetor zero para o vetor zero, ela já é linear?
Na verdade, não. Essa condição por si só não garante que a transformação seja linear. Para ser linear,
também precisa satisfazer a aditividade e a homogeneidade que mencionamos antes. Só verificar que
envia o zero para o zero não é suficiente para assegurar essas propriedades.
Passo 4
Vamos dar um exemplo para esclarecer. Imagine uma transformação
definida por:
Nessa transformação,
, mas ela não é linear. Por quê? Porque ela não preserva a aditividade. Por exemplo, se pegarmos dois vetores que não estão no eixo
, a soma deles pode estar ou não no eixo
, e a transformação não vai respeitar a soma dos resultados de
aplicados individualmente.
Resposta
Falsa (F). A condição
não é suficiente para garantir que
seja uma transformação linear. Embora seja uma condição necessária, para que
seja linear, ela também precisa satisfazer a aditividade e a homogeneidade.