Considere os pontos .
Determine as coordenadas do ponto da reta , que pertence ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . Além disso, temos uma reta definida por , onde é um número real. O objetivo é encontrar as coordenadas do ponto na reta que também pertence ao plano formado pelos pontos , e .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a equação do plano usando os pontos , e .
  2. Substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano para encontrar o valor de .
  3. Usar esse valor de para determinar as coordenadas do ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação do plano . Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter isso calculando o produto vetorial entre dois vetores que estão no plano.
Vamos formar dois vetores no plano:
  • Primeiro vetor:
  • Segundo vetor:

Passo 3

Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano .

Passo 4

Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano usando o ponto :
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação paramétrica da reta : . Isso significa que:
Vamos substituir essas expressões na equação do plano :

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar :

Passo 7

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

As coordenadas do ponto da reta que pertence ao plano são .

Exercícios relacionados

Analise as afirmações a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique TODAS as respostas: para verdadeira, indique o Teorema ou Definição, por exemplo, que suporte sua resposta; para falsa, mostre um caso onde a afirmação falha, por exemplo. Seja uma transformação. Se , então é linear.
Considere o seguinte sistema linear nas variáveis :
Dê uma interpretação geométrica para este sistema linear e para seu conjunto solução.
Considere o seguinte sistema linear nas variáveis :
Resolva este sistema pelo método de Gauss-Jordan.
Seja a transformação linear dada por
verifique se existe algum vetor do domínio que possui como imagem o vetor nulo.