Considere os pontos A=(2,1,1), B=(0,-1,2), C=(-1,0,-1).
Determine as coordenadas do ponto da reta r:(x, y, z)=(1,0,-1)+t(1,-1,1), t in R, que pertence ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . Além disso, temos uma reta definida por , onde é um número real. O objetivo é encontrar as coordenadas do ponto na reta que também pertence ao plano formado pelos pontos , e .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a equação do plano usando os pontos , e .
  2. Substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano para encontrar o valor de .
  3. Usar esse valor de para determinar as coordenadas do ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação do plano . Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter isso calculando o produto vetorial entre dois vetores que estão no plano.
Vamos formar dois vetores no plano:
  • Primeiro vetor:
  • Segundo vetor:

Passo 3

Agora, calculamos o produto vetorial n = AB times AC = i & j & k -2 & -2 & 1 -3 & -1 & -2 para encontrar o vetor normal n = i((-2)(-2) - (1)(-1)) - j((-2)(-2) - (1)(-3)) + k((-2)(-1) - (-2)(-3)) ao plano n = i(4 + 1) - j(4 + 3) + k(2 - 6) .
n = 5i - 7j - 4k = (5, -7, -4)

Passo 4

Com o vetor normal 5(x - 2) - 7(y - 1) - 4(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação do plano 5x - 10 - 7y + 7 - 4z + 4 = 0 usando o ponto 5x - 7y - 4z - 10 + 7 + 4 = 0 :
5x - 7y - 4z + (-10 + 11) = 0
Vamos simplificar essa equação:
5x - 7y - 4z + 1 = 0
5x - 7y - 4z + 1 = 0
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação paramétrica da reta x = 1 + t : y = 0 - t = -t . Isso significa que:
z = -1 + t
5(1 + t) - 7(-t) - 4(-1 + t) + 1 = 0
Vamos substituir essas expressões na equação do plano :

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar 5(1 + t) - 7(-t) - 4(-1 + t) + 1 = 0 :
5 + 5t + 7t + 4 - 4t + 1 = 0
5 + 4 + 1 + (5t + 7t - 4t) = 0
10 + 8t = 0
8t = -10
t = -108 = -54

Passo 7

Agora que encontramos x = 1 + (-54) = 44 - 54 = -14 , vamos substituir esse valor nas equações paramétricas da reta y = -(-54) = 54 para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
z = -1 + (-54) = -44 - 54 = -94

Resposta

As coordenadas do ponto da reta que pertence ao plano são .

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