Considere os pontos .
Determine as coordenadas do ponto da reta , que pertence ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . Além disso, temos uma reta definida por , onde é um número real. O objetivo é encontrar as coordenadas do ponto na reta que também pertence ao plano formado pelos pontos , e .
Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar a equação do plano usando os pontos , e .
Substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano para encontrar o valor de .
Usar esse valor de para determinar as coordenadas do ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação do plano . Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter isso calculando o produto vetorial entre dois vetores que estão no plano.
Vamos formar dois vetores no plano:
Primeiro vetor:
Segundo vetor:
Passo 3
Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano .
Passo 4
Com o vetor normal 5(x - 2) - 7(y - 1) - 4(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação do plano 5x - 10 - 7y + 7 - 4z + 4 = 0 usando o ponto 5x - 7y - 4z - 10 + 7 + 4 = 0 :
5x - 7y - 4z + (-10 + 11) = 0
Vamos simplificar essa equação:
5x - 7y - 4z + 1 = 0
5x - 7y - 4z + 1 = 0
Então, a equação do plano é:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação paramétrica da reta x = 1 + t : y = 0 - t = -t . Isso significa que:
z = -1 + t
5(1 + t) - 7(-t) - 4(-1 + t) + 1 = 0
Vamos substituir essas expressões na equação do plano :
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar 5(1 + t) - 7(-t) - 4(-1 + t) + 1 = 0 :
5 + 5t + 7t + 4 - 4t + 1 = 0
5 + 4 + 1 + (5t + 7t - 4t) = 0
10 + 8t = 0
8t = -10
t = -108 = -54
Passo 7
Agora que encontramos x = 1 + (-54) = 44 - 54 = -14 , vamos substituir esse valor nas equações paramétricas da reta y = -(-54) = 54 para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
z = -1 + (-54) = -44 - 54 = -94
Resposta
As coordenadas do ponto da reta que pertence ao plano são .