Considere os pontos .
Determine as coordenadas do ponto da reta , que pertence ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . Além disso, temos uma reta definida por , onde é um número real. O objetivo é encontrar as coordenadas do ponto na reta que também pertence ao plano formado pelos pontos , e .
Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar a equação do plano usando os pontos , e .
Substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano para encontrar o valor de .
Usar esse valor de para determinar as coordenadas do ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação do plano . Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter isso calculando o produto vetorial entre dois vetores que estão no plano.
Vamos formar dois vetores no plano:
Primeiro vetor:
Segundo vetor:
Passo 3
Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano .
Passo 4
Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano usando o ponto :
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano é:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação paramétrica da reta : . Isso significa que:
Vamos substituir essas expressões na equação do plano :
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar :
Passo 7
Agora que encontramos , vamos substituir esse valor nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
As coordenadas do ponto da reta que pertence ao plano são .