Considere o seguinte sistema linear nas variáveis :
Resolva este sistema pelo método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
c x + 2y - z = 0 2x + y + 2z = 1 3x + 3y + z = 1
Vamos precisar entender como transformar esse sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para simplificar até encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso significa colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma única matriz:
Agora, vamos usar operações de linha para transformar essa matriz em forma reduzida. O objetivo é ter 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima deles. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está) e eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Percebemos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Vamos simplificar isso. Podemos subtrair a segunda linha da terceira linha para eliminar uma delas:
Isso mostra que temos uma equação redundante. Agora, focamos nas duas primeiras linhas.
Passo 5
Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por -3 para deixar o coeficiente de R2 = R2-3 1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 1 & -43 & | & -13 0 & 0 & 0 & | & 0 igual a 1:
Passo 6
Agora, usamos a segunda linha para eliminar o coeficiente de R1 = R1 - 2R2 1 & 0 & 53 & | & 23 0 & 1 & -43 & | & -13 0 & 0 & 0 & | & 0 na primeira linha. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
Passo 7
Agora, interpretamos a matriz resultante. A terceira linha não nos dá informação adicional, então temos:
x + 53z = 23 y - 43z = -13
Podemos atribuir um valor a x = 23 y = -13 z = 0 (como ) e expressar e em termos de . Porém, se preferirmos uma solução única, podemos escolher , o que simplifica as equações para: