Considere o seguinte sistema linear nas variáveis x, y, z :
c x+2 y-z=0 2 x+y+2 z=1 3 x+3 y+z=1
Resolva este sistema pelo método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
c x + 2y - z = 0 2x + y + 2z = 1 3x + 3y + z = 1
Vamos precisar entender como transformar esse sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para simplificar até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso significa colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma única matriz:
1 & 2 & -1 & | & 0 2 & 1 & 2 & | & 1 3 & 3 & 1 & | & 1

Passo 3

Agora, vamos usar operações de linha para transformar essa matriz em forma reduzida. O objetivo é ter 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima deles. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está) e eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -3 & 4 & | & 1 3 & 3 & 1 & | & 1
E subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 3R1 1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -3 & 4 & | & 1 0 & -3 & 4 & | & 1

Passo 4

Percebemos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Vamos simplificar isso. Podemos subtrair a segunda linha da terceira linha para eliminar uma delas:
R3 = R3 - R2 1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -3 & 4 & | & 1 0 & 0 & 0 & | & 0
Isso mostra que temos uma equação redundante. Agora, focamos nas duas primeiras linhas.

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por -3 para deixar o coeficiente de R2 = R2-3 1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 1 & -43 & | & -13 0 & 0 & 0 & | & 0 igual a 1:

Passo 6

Agora, usamos a segunda linha para eliminar o coeficiente de R1 = R1 - 2R2 1 & 0 & 53 & | & 23 0 & 1 & -43 & | & -13 0 & 0 & 0 & | & 0 na primeira linha. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira linha:

Passo 7

Agora, interpretamos a matriz resultante. A terceira linha não nos dá informação adicional, então temos:
x + 53z = 23 y - 43z = -13
Podemos atribuir um valor a x = 23 y = -13 z = 0 (como ) e expressar e em termos de . Porém, se preferirmos uma solução única, podemos escolher , o que simplifica as equações para:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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