Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): . Afirmativa (II): , para .
Afirmativa (I) é falsa e afirmativa (II) é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas afirmações envolvendo funções matemáticas e séries infinitas. Nosso objetivo é analisar se a Afirmativa I é falsa e a Afirmativa II é verdadeira. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e expansões de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a Afirmativa I:
Sabemos que a série de Taylor (ou série de Maclaurin) para o cosseno é:
Se substituirmos por , teremos:
Que é exatamente o que a Afirmativa I apresenta. Portanto, ela está correta.

Passo 3

Agora, vamos analisar a Afirmativa II:
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Multiplicando ambos os lados por :
Mas a Afirmativa II diz que é igual a , o que não é o mesmo que . A expressão correta deveria ter , não . Portanto, a Afirmativa II está errada.

Resposta

Na verdade, a afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é falsa.

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Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
c) Existe tal que
As proposições abaixo têm duas variáveis livres e (ambos números naturais). Para cada uma delas, dê um exemplo e um contraexemplo, se existirem:
a) e
Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): . Afirmativa (II): , para .
Afirmativas (I) e (II) são ambas verdadeiras.
Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): . Afirmativa (II): , para .
Afirmativas (I) e (II) são ambas falsas.