Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): cos (x^32)=sumn=0^infty(-1)^n x^6 n4^n(2 n)!. Afirmativa (II): x^51+x=sumn=0^infty(-1)^n x^5 n, para |x|<1.
Afirmativa (I) é falsa e afirmativa (II) é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas afirmações envolvendo funções matemáticas e séries infinitas. Nosso objetivo é analisar se a Afirmativa I é falsa e a Afirmativa II é verdadeira. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e expansões de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a Afirmativa I:
cos (x^32)=sumn=0^infty(-1)^n x^6 n4^n(2 n)!
Sabemos que a série de Taylor (ou série de Maclaurin) para o cosseno é:
cos(t) = sumn=0^infty (-1)^n t^2n(2n)!
Se substituirmos cos(x^32) = sumn=0^infty (-1)^n (x^32)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^6n4^n(2n)! por , teremos:
Que é exatamente o que a Afirmativa I apresenta. Portanto, ela está correta.

Passo 3

Agora, vamos analisar a Afirmativa II:
x^51+x=sumn=0^infty(-1)^n x^5 n, para |x|<1
Sabemos que a série geométrica é dada por:
11+x = sumn=0^infty (-1)^n x^n, para |x| < 1
Multiplicando ambos os lados por x^51+x = x^5 sumn=0^infty (-1)^n x^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n+5 :
Mas a Afirmativa II diz que é igual a , o que não é o mesmo que . A expressão correta deveria ter , não . Portanto, a Afirmativa II está errada.

Resposta

Na verdade, a afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é falsa.

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