Analise as afirmativas abaixo.
Afirmativa (l): cos (x^32)=sumn=0^infty(-1)^n x^6 n4^n(2 n)!. Afirmativa (II): x^51+x=sumn=0^infty(-1)^n x^5 n, para |x|<1.
Afirmativas (I) e (II) são ambas verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar as duas afirmativas apresentadas. O conteúdo envolve séries de potências e desenvolvimento de funções trigonométricas e racionais em séries. Para resolver, precisamos conhecer as séries de Taylor (ou Maclaurin) para funções como o cosseno e para funções racionais como 11+x.

Passo 2

Analisando a Afirmativa (I):
A afirmativa diz que:
cos(x^32) = sumn=0^infty(-1)^n x^6n4^n(2 n)!
Sabemos que a série de Taylor para o cosseno é:
cos(z) = sumn=0^infty(-1)^n z^2n(2n)!
onde z = x^32. Substituindo:
cos(x^32) = sumn=0^infty(-1)^n (x^32)^2n(2n)! = sumn=0^infty(-1)^n x^6n4^n(2n)!
Isso confirma que a afirmativa (I) está correta.

Passo 3

Analisando a Afirmativa (II):
A afirmativa diz que:
x^51+x = sumn=0^infty(-1)^n x^5n, para |x| < 1
Vamos desenvolver a série para 11+x. Sabemos que:
11+x = sumn=0^infty(-1)^nx^n, para |x| < 1
Multiplicando ambos os lados por x^5:
x^51+x = x^5 sumn=0^infty(-1)^nx^n = sumn=0^infty(-1)^nx^n+5 = sumn=5^infty(-1)^n-5x^n
Porém, a série apresentada na afirmativa (II) é sumn=0^infty(-1)^nx^5n, que possui potências múltiplas de 5, o que não corresponde ao resultado obtido. Portanto, a afirmativa (II) está incorreta.

Resposta

Apenas a afirmativa (I) é verdadeira.

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